马尔科夫链模型

马尔柯夫链模型张俊丽2马尔柯夫预测法马尔柯夫（Markov）法是以俄国数学家A·A·Markov名字命名的一种方法.它将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初步概率和状态之间转移概率的研究，确定状态变化趋势，以预测事物的未来，马尔可夫法和博克斯一詹金斯法都是随机时间序列分析法。3马尔柯夫过程就是时间转移和状态转移的过程。马尔柯夫链是马尔柯夫过程的一种特殊情况。马尔柯夫过程所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不断的，相邻两个值之间可作无限分割。马尔柯夫过程所研究的状态也是无效的。而马尔柯夫链的时间参数取离散数值如日、月、季、年，其状况是有限的只有可到个状态马尔柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其特点是“无后效应性”1、马尔柯夫链模型简介设考察对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为，且两两互斥，则称为状态。称该系统从一种状态到另一状态的过程为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔柯夫过程。12{,,...,}NEEE12,,...,NEEEiE(1,2,...,)iNiEjE马尔柯夫链：（1）无后效性，即系统的第n次试验结果出现的状态，只与第n-1时系统所处的状态有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。概率向量：向量称为概率向量，如果满足：概率矩阵：如果方阵P的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。u10,1,2,...,1jnjjujnu=ì?ïïïïíï=ïïïîå12(,,...)nuuuu=转移矩阵：系统由状态经过一次转移到状态的概率记为，称矩阵为一次（一步）转移矩阵。iEjEijP转移矩阵的性质：（1）（2）其中为次转移矩阵。()kPk111211111111111111PPPPPPPPPP轾犏犏犏=犏犏犏犏臌()(1)kkPPP-=()kkPP=正规概率矩阵：对概率矩阵，若幂次方的所有元素皆为正数，则称矩阵为正规概率矩阵。定理：正规概率矩阵幂次方趋近于某一方阵，的每一行均为同一概率向量，且满足。PmPP(2)mP23,,,...PPPTTttPt=马尔可夫链模型：设系统在时所处的初始状态为已知的，经过次转移后所处的状态向量则此式即为马尔可夫预测模型。0k=(0)(0)(0)(0)12(,,...,)NSSSS=k()()()()12(,,...,)kkkkNSSSS=(1,2,...)k111211111111()(0)111111kPPPPPPSSPPP轾犏犏犏=犏犏犏犏臌2、市场占有率预测例设有甲乙丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新用户。假定在10月末经过市场调查得知，甲乙丙三家企业拥有的客户分别是250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如下：从到甲乙丙∑甲2301010250乙2025030300丙3010410450∑2802704501000问题：假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去（转移矩阵不变），预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。问题分析与求解第一步：确定初始状态概率向量，这里(0)(0)(0)(0)123(,,)250300450(,,)100010001000(0.25,0.3,0.45)SSSS===第二步：确定一次转移概率矩阵。此例由用户可能流动情况调查表可知，一次转移概率矩阵为：矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率。23010102502502500.920.040.0420250300.0670.8330.13003003000.0670.0220.9113010410450450450P轾犏犏轾犏犏犏犏==犏犏犏犏犏臌犏犏臌第三步：利用马尔科夫链模型进行预测。显然，12月份三家企业市场占有率为12月份三个企业市场用户拥有量分别为：甲：户乙：户丙：户(2)(2)(2)(2)123(0)22(,,)0.920.040.04(0.250.30.45)0.0670.8330.10.0670.0220.911(0.3060.2460.448)SSSSSP==轾犏犏=犏犏臌=10000.306306?10000.246246?10000.448448?现在假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去，我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。易证为正规矩阵，设令，则解得，故P(,,1)txyxy=--tPt=0.920.040.04(,,1)0.0670.8330.1(,,1)0.0670.0220.911xyxyxyxy轾犏犏--=--犏犏臌0.4558,0.1598xy==(,,1)(0.4558,0.1598,0.3844)xyxy--=163、项目选址预测某汽车维修公司在合肥有A、B和C3个维修厂。由于公司注重对员工技术的提高，树立顾客至上、信誉第一的理念,采用先进的管理模式。由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择哪一个维修厂。176.02.02.08.002.002.08.0丙乙甲p公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。的客户的调查显示，客户在A、B和C3个维修厂之间的转移概率为：易证为正规矩阵，设令，则解得P(,,1)txyxy=--tPt=0.80.20(,,1)0.200.8(,,1)0.20.20.6xyxyxyxy轾犏犏--=--犏犏臌1111)(,,)(0.50,0.167,0.333)263xyxy--=?（，，