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1第二章恒定电场SteadyElectricField序导电媒质中的电流基本方程•分界面衔接条件•边值问题导电媒质中恒定电场与静电场的比拟电导和接地电阻下页电源电动势与局外场强返回通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与静电场有相似之处。Introduction2.0序本章要求:熟练掌握静电比拟法和电导的计算。理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。下页上页返回基本方程E的旋度边值问题边界条件电位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电场知识结构基本物理量J、E欧姆定律J的散度下页上页返回2.1.1电流(Current)定义：单位时间内通过某一横截面的电量。2.1导电媒质中的电流CurrentinConductiveMedia三种电流：tqIdd=A传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。运流电流——带电粒子在真空中的定向运动。下页上页返回1.电流面密度J∫⋅=SISJd电流体电荷以速度v作匀速运动形成的电流。ρvJρ=2mA电流密度2.1.2电流密度（CurrentDensity)下页上页返回图2.1.1电流面密度矢量图2.1.2电流的计算2.电流线密度KmAvKσ=lIld)(n∫⋅=eK电流en是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量。面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。σ图2.1.3电流线密度及其通量下页上页电流线密度返回23.元电流的概念元电流是元电荷以速度v运动形成的电流qdνllνKνJνd(dd(dd)(dISSVV→→→线电流元）面电流元）体电流元τσρ工程应用媒质磁化后的表面磁化电流；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。下页上页图2.1.4媒质的磁化电流返回2.1.3欧姆定律的微分形式(DifferentialFormofOhm’sLaw)J与E共存，且方向一致。简单证明：欧姆定律微分形式。EJγ=在线性媒质中对两边取面积分EJγ=左边IS=⋅=∫SJd右边∫⋅=SSEdγ欧姆定律积分形式。RIU=所以RIU=下页上页图2.1.5J与E之关系返回GU=UlSγ=∫=SlUSdγ2.1.4焦尔定律的微分形式(DifferentialFormofJoule’sLaw)导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率体密度为EJ⋅=pW/m3RIUIVPV2d==⋅=∫EJW—焦耳定律微分形式—焦耳定律积分形式下页上页返回提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源。2.2.1电源(Source)2.2电源电动势与局外场强SourceEMFand0therFieldIntensity电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。qfEee=局外场强ef－局外力2.2.2电源电动势(SourceEMF)下页上页返回图2.2.1恒定电流的形成因此，对闭合环路积分lEEd)(⋅+∫lec局外场Ee是非保守场。)(ecEEJ+=γ图2.2.2电源电动势与局外场强lEd⋅=∫lee电源电动势总场强ecEEE+==⋅∫dlElee=+=0∫∫⋅+⋅=llelElEcdd下页上页返回2.3.1基本方程(BasicEquations)2.3基本方程•分界面衔接条件•边值问题BasicEquations•BoundaryConditions•BoundaryValueProblem在恒定电场中0=∂∂tq恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。故0=⋅∇JtqS∂∂−=⋅∫SJd电荷守恒原理1.J的散度亦称电流连续性方程0d=⋅∫SJS散度定理0d=⋅∇∫VJV下页上页返回3结论：恒定电场是无源无旋场。2.E的旋度所取积分路径不经过电源，则3.恒定电场（电源外）的基本方程0d=⋅∫SSJ0d=⋅∫llEEJγ=0=⋅∇J0=×∇E恒定电场是无旋场。得0=×∇E积分形式微分形式构成方程0d=⋅∫llE斯托克斯定理0d)(=⋅×∇∫SES下页上页返回2.3.2分界面的衔接条件（BoundaryConditions)说明分界面上E切向分量连续，J的法向分量连续。折射定律2121γγαα=tantan图2.3.1电流线的折射0d=⋅∫llE0d=⋅∫SSJ由得2t1tEE=2n1nJJ=下页上页返回00022n2n≠=＝γJE0n1=E例2.3.1导体与理想介质分界面上的衔接条件。0022==J，γ解:在理想介质中空气中σε==−2n21nn2EDD导体中不同导体分界面？提问：0＝σ表明1分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。表明2导体与理想介质分界面上必有面电荷。01n2n==JJ故下页上页返回图2.3.2导体与理想介质分界面0/11t2t1t≠==γJEE若（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。∞→1γyxEEeeE2n2t2+=导体周围介质中的电场：表明3电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。下页上页返回图2.3.3载流导体表面的电场2.3.3边值问题（BoundaryValueProblem)分界面衔接条件拉普拉斯方程02=∇ϕ得0=×∇E由基本方程出发由得0=⋅∇J2t1tEE=2n1nJJ=21ϕϕ=nn∂∂=∂∂2211ϕγϕγ常数=γ恒定电场中是否存在泊松方程？思考下页上页返回ϕ∇−=E)(Eγ⋅∇γϕγ∇⋅+∇⋅∇−=Eϕγ∇⋅∇−=0=例2.3.2试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。01212212=∂∂=∇φϕρϕ(区域）1γ解:选用圆柱坐标系，边值问题为：002==φϕ(区域）2γ01222222=∂∂=∇φϕρϕφϕγφϕγϕϕ∂∂=∂∂=221121，，时4π=φ02π1U==φϕ下页上页图2.3.4不同媒质弧形导电片返回4电位2102121021)()(π4γγγγφγγγϕ+−++=UUφφργγγργγγeEeE)(π4)(π42101221021+−=+−=UU电场强度电荷面密度)-()(π4212100201012γγργγεεεσ+=−=−=UEEDDnn通解DCBA+=+=φϕφϕ21,φγγγϕ)(π421012+=U下页上页返回2.4导电媒质中恒定电场与静电场的比拟2.4.1比拟方法(ContrastMethod)ContrastofSteadyElectricFieldandElectrostatics0=⋅∇DEDε=∫⋅=SqSDd02=∇ϕ)(0=ρ静电场0=×∇E恒定电场（电源外）EJγ=∫⋅=SISJd0=⋅∇J0=×∇E02=∇ϕ恒定电场ϕJIγE静电场EDqεϕ两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。下页上页返回两种场可以比拟的条件1.镜像法的比拟)2,(2122121τεεεττεεεετ+=′′+−=′2.4.2比拟方法的应用（ContrastMethodApplication)图2.4.1静电场与恒定电流场的镜像法比拟静电场=+微分方程相同；场域几何形状及边界条件相同；媒质分界面满足2121εεγγ=恒定电场)2,(2122121IIIIγγγγγγγ+=′′+−=′=+下页上页返回2.恒定电场模拟静电场实验固体模拟（如导电纸模拟）实验方法：液体模拟（如电解槽模拟）图2.4.2静电场平行板造型恒定电流场的电极表面近似为等位面图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件是什么？思考(条件)媒质电极γγ下页上页返回2.5.1电导(Conductance)1.通过电流场计算电导2.5电导与接地电阻或设IUConductanceandGroundResistor思路Jγ/JE=∫⋅=lUlEdUIG/=EEJγ=∫⋅=SISJdUIG/=设下页上页返回当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。UIUQGC=多导体电极系统的部分电导可与静电系统的部分电容比拟。（自学）2.比拟法εγ=CG即下页上页∫∫∫∫⋅⋅⋅⋅=lSlSlESJlESDddddγεγε=⋅⋅=∫∫SSSESEdd返回5例2.5.1求图示同轴电缆的绝缘电阻。解设I电导12lnπ2ρργlUIG==用静电比拟法求解由静电场,lnπ212ρρεlC=根据γε=GC关系式，得12lnπ211ρργlGR==绝缘电阻U下页上页图2.5.1同轴电缆横截面返回lIJρπ2=γρlIEπ2=∫⋅=llEd∫=21dπ2ρρργρlI12lnπ2ρργlI=012222=∂∂=∇φϕρϕ00,0U====θφφϕϕ通解，代入边界条件，得21CC+=φϕφθϕ)(0U=电位函数解取圆柱坐标系，边值问题)(φϕϕ=下页上页φφρθφρϕϕeeE0U−=∂∂−=−∇=电场强度图2.5.2弧形导电片返回例2.5.2已知导电片厚度为h，当;00==ϕφ时，试求电导片的电导。0,U==ϕθφ时电流)(d)(d0φφρθργeeSJ−⋅−=⋅=∫∫hUISba电导)mS(ln0abhUIGθγ==电流密度φρθγγeUEJ0−==下页上页abhUln0θγ=返回φφρθφρϕϕeeE0U−=∂∂−=−∇=电场强度图2.5.3深埋球形接地器1.深埋球形接地器2.5.2接地电阻(GroundResistor)解法一通过电流场计算电阻解法二比拟法→=→2π4rIJI→=2π4rIEγaIrrIUaγγπ4dπ42==∫∞aRγπ41=γε=GC,π4aCε=,π4aGγ=接地电阻越大越好吗？如何改变R?思考下页上页aIURγπ41==由接地器电阻、接地器与土壤之间的接触电阻、土壤电阻构成。接地电阻：返回2.直立管形接地器解:考虑地面的影响，可用镜像法。实际电导,212GUIG==′即dllR4lnπ21γ=dllC4lnπ4ε=在静电场中)2(4lnπ4dldllG=γ比拟法,γε=GC下页上页图2.5.4直立管形接地器返回3.非深埋的球形接地器解用镜像法)2(π4π4hIaIγγϕ+=)211(π41haIR+==γϕ接地器接地电阻aRγπ21=2π2rIJ=解4.浅埋半球形接地器a2Iuaγπd=⋅=∫∞lE设I下页上页图2.5.5非深埋的球形接地器返回2π2rIEγ=图2.5.6浅埋半球形接地器I600π2UIbxγ=为危险区半径2.5.3跨步电压(StepVoltage)∫+=bxxrrIUdπ22γ以浅埋半球接地器为例,π22rIJ=人体的安全电压U0≤40V图2.5.7半球形接地器的危险区上页返回)(π2bxxbI+=γγγ2π2rIJE==