中考二次函数总复习

的二次函数。叫做关于是常数，其中一般地，函数xacbacbxaxy)0,,(21.自变量的最高次数是2。2.二次项的系数a≠0。3.二次函数解析式必须是整式。注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.二次函数的解析式y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.思考：下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：22(1)231(2)3yxyxx是不是，因为不是整式2,0,3abc下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？xy43)1(2)2(xyxy21)3(15.0)8(2xy22)1()1()6(xxy1)5(2xxy3)2()7(2xy312)4(2xxy12)9(xxy5)10(22yx1，函数（其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时，（1）它是二次函数；（2）它是一次函数；（3）它是正比例函数；2yaxbxc当时，是二次函数；0a当时，是一次函数；0,0ab当时，是正比例函数；0,0,0abc2，函数当m取何值时，（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？222(2)mymmx（1）若是二次函数，则且∴当时，是二次函数。222m2m220mm（2）若是反比例函数，则且∴当时，是反比例函数。221m1m220mm解析式使用范围一般式已知任意三个点顶点式已知顶点（h,k)及另一点交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函数的三种解析式y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同。小结：各种形式的二次函数的关系1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点和函数性质返回主页前进(1)是一条抛物线；(2)对称轴是:x=-(3)顶点坐标是:(-,)(4)开口方向:a0时,开口向上；a0时,开口向下.2a4a4ac-b22a图26.2.4（1）a0时，对称轴左侧(x-)，函数值y随x的增大而减小；对称轴右侧(x-)，函数值y随x的增大而增大。a0时，对称轴左侧(x-)，函数值y随x的增大而增大；对称轴右侧(x-)，函数值y随x的增大而减小。（2）a0时，ymin=a0时，ymax=2a2a2a2a4a4ac-b24a4ac-b2图26.2.4(二)函数性质：返回目录二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：xy0a0(1)a确定抛物线的开口方向：a、b、c、△、的符号与图像的关系a0x0xy0(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:c0x0•(0,c)c=0xy0•(0,0)c0xy0•(0,c)(3)a、b确定对称轴的位置:xy0x=-b2aab0x=-b2aab=0xy0x=-b2aab0xy0x=-b2axy0•(x,0)xy0•(x1,0)•(x2,0)Δ0Δ=0Δ0(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•xy0•(x,0)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥01、抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c2、抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c思考：求抛物线Y=X2-2X+3关于X轴对称的抛物线的解析式，关于Y轴的抛物线的解析式小结二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)小结（2）抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2X1+X2=X1X2=题型分析:(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成的面积例1:填空：(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________；(2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________．(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和(,0)23前进例2:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。(1)证明:∵△=22-4×(-8)=360∴该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:∵抛物线与x轴相交时x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)∴S△ABC=27xyABP前进xyOAxyOBxyOCxyOD例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系答案:B前进例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x(三)根据函数性质求函数解析式前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解:（1）∵a=—0∴抛物线的开口向上∵y=—(x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）121212前进(2)由x=0，得y=--—抛物线与y轴的交点C（0，--—）由y=0，得—x2+x-—=0x1=-3x2=1与x轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212解0x(3)④连线①画对称轴x=-1②确定顶点•(-1,-2)••(0,-–)③确定与坐标轴的交点及对称点••(-3,0)(1,0)32解0•M(-1,-2)••C(0,-–)••A(-3,0)B(1,0)32yxD：（4）由对称性可知MA=MB=√22+22=2√2AB=|x1-x2|=4∴ΔMAB的周长=2MA+AB=2√2×2+4=4√2+4ΔMAB的面积=—AB×MD=—×4×2=41212前进解解0xx=-1••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32:(5)•(-1,-2)当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2当x≤-1时，y随x的增大而减小;前进解:0•(-1,-2)••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32yx由图象可知(6)当x-3或x1时，y0当-3x1时，y0巩固练习:1、填空：（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=____。12（—，-—）12524x=—12（0，0）（2，0）x122.选择(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.A直线x=1B直线x=-1C直线x=2D直线x=-2(2)抛物线y=3x2-1的________________A开口向上,有最高点B开口向上,有最低点C开口向下,有最高点D开口向下,有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,0),B(4,0),则对称轴是_______A直线x=2B直线x=4C直线x=3D直线x=-3(4)若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,m),B(4,m),则对称轴是_______A直线x=3B直线x=4C直线x=-3D直线x=2cBCA3、解答题：已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。能力训练1、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc0②a+b+c0③a+cb④2a+b=0⑤Δ=b-4ac02、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;(2)、当x为何值时，y0。yOx(3)、求它的解析式和顶点坐标；3、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。基础练习:1.不与x轴相交的抛物线是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–3xDy=-2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC归纳小结：（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函数值y的取值范围返回（2）a，b，c，Δ的正负与图象的位置关系注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）时AB=|x2-x1|=√(x1+x2)2+4x1x2=——这一结论及推导过程。√Δ|a|3.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.4.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.1116