材料力学第三章-扭转

MechanicsofMaterialsChapter3Torsion点名第三章扭转(Torsion)§3-1扭转的概念和实例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)§3-2扭转内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)§3-3薄壁圆筒的扭转(Torsioninthin—wallcirculartube)§3-4圆轴扭转的应力分析及强度条件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)点名§3-8开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(Freetorsionofopenandclosedthin-walledmembers)§3-5圆杆在扭转时的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋弹簧的应力和变形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings）§3-7非圆截面杆的扭转(Torsionofnoncircularprismaticbars)点名§3-1扭转的概念及实例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程实例（Exampleproblems)点名5点名扭转引例点名扭转引例续点名MeMe二、受力特点（Characterofexternalforce)杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点（Characterofdeformation)杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.点名变形特点点名§3-2扭转的内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)从动轮主动轮从动轮一、外力偶矩的计算(Calculationofexternalmoment)Me—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)Ps—轴传递的功率(PS)n—轴的转速(r/min)m)(N9549nPMem)(N7024nPMsenMe2Me1Me3点名Me在n–n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算(Calculationofinternalforce)1、求内力(Calculatinginternalforce)截面法(Methodofsections)T0xMeMTMeMe点名Mex••nnMeMe•xTMe•xT采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，反之为负.2、扭矩符号的规定(Signconventionfortorque)3、扭矩图（Torquediagram)用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方.Tx+_点名T(+)T(-)mITImIITmITImIIT点名Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传动轴如图所示，其转速n=300r/min，主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW.试做扭矩图.点名解:计算外力偶矩nPM9549emN6379mN4780mN159004e3e2e1eMMMMMe4ABCDMe1Me2Me3n点名计算CA段内任横一截面2-2截面上的扭矩.假设T2为正值.结果为负号，说明T2应是负值扭矩由平衡方程ABCDMe1Me3Me2220023e2eTMMMxmN95603e2e2MMT同理，在BC段内mN47802e1MTBCxMe2Me3T2Me4Me2x1T点名ABCD同理，在BC段内在AD段内1133注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4mN47802e1MTmN63704e3MTT1T3作出扭矩图4780N·m9560N·m6370N·m+_从图可见，最大扭矩在CA段内.mN9560maxT点名§3-3薄壁圆筒的扭转(Torsionofthin—walledcylindricalVessels)1.实验前1）画纵向线，圆周线；2）施加一对外力偶.一、应力分析（Analysisofstress)薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）0101rtdxxMeMe2.实验后①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；②各纵向线均倾斜了同一微小角度；③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.点名薄壁圆筒扭转示例点名3、推论（Inference)1)横截面上无正应力，只有切应力；2)切应力方向垂直半径或与圆周相切.dxt圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.MeMeABDC点名此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4、推导公式(Derivationofformula)TtrrArrAAA)π2(ddtrT2π2薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致.Tττ点名xdydxyz二、切应力互等定理(ShearingStressTheorem)ττ1、在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于y轴平行.可知，两侧面的内力元素dydz大小相等，方向相反，将组成一个力偶。由平衡方程0yF其矩为(dydz)dx点名xydyzdxττ2、要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得(dydz)dx00xzFMzyxd)dd(点名3、切应力互等定理（ShearingStressTheorem)单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线.纯剪切单元体：（Elementinpureshear)单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.xydyzdxττ点名切应力互等示例点名MeMel式中，r为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律（Hooke’slawforshear)由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶Me在某一范围内时，与Me（在数值上等于T）成正比.lr点名弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比μ的关系TO从T与之间的线性关系，可推出与间的线性关系.该式称为材料的剪切胡克律.(Hooke’slawforshear)G–剪切弹性模量(torsion)lrtrT2π2G)1(2EGO点名思考题：指出下面图形的切应变2切应变为切应变为0(torsion)点名变形几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式deformationgeometricrelationDistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformulaExaminethedeformationthenproposethehypothesisphysicalrelationstaticrelation§3-4圆杆扭转的应力分析·强度条件（Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)点名1、变形现象(Deformationphenomenon)1)轴向线仍为直线，且长度不变；2)横截面仍为平面且与轴线垂直；一、变形几何关系(GeometricalRelationshipofDeformation)3)径向线保持为直线，只是绕轴线旋转.2、平面假设（Planeassumption)变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面.点名aabbdxO1O23、几何关系（Geometricalrelationship)倾角是横截面圆周上任一点A处的切应变,d是b-b截面相对于a-a截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.经过半径O2D上任一点G的纵向线EG也倾斜了一个角度ρ，它也就是横截面半径上任一点E处的切应变xEGGG'ddtgTTdADG'ρρD'GE点名同一圆周上各点剪应力均相同，且其值与成正比，与半径垂直.(torsion)二、物理关系(PhysicalRelationship)由剪切胡克定律GxGGddaabATTdxDbdDO1O2GG'ρρ点名rOdAdAρρT三、静力关系(StaticRelationship）1、公式的建立（Establishtheformula)TAAdTAxφρGρAdddTAxGAddd2p2dIAρA结论pddGITxρρ代入物理关系中得到PIT式中：T—横截面上的扭矩—求应力的点到圆心的距离IP—为横截面对圆心的极惯性矩点名Wt称作抗扭截面系数，单位为mm3或m3.2、的计算（Calculationofmax)max(MaximumShear-StressFormula)tmaxppmaxmaxWTITITmaxptIWrOTdAdAρρρmax点名（1）实心圆截面(Solidcircularsection)dO3、极惯性矩和抗扭截面系数的计算AAId2pmaxPtIW)d(π2dA32πdπ2d42032pdAIdA16π2/32/π34maxptdddIWρdρODdρdρ（2）空心圆截面(Hollowcircularsection)32)1(π44pDI)1(16π43tDW其中Dd点名例题2图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切弹性模量G=80GPa.(1)画轴的扭矩图；(2)求轴的最大切应力，并指出其位置.M1M2ABCll点名形变分析动画示例点名（1）画轴的扭矩图M1M2ABCllBC段1M2CT1T1+M2=02M2CM1BT2T2+M2-M1=0T2=2kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩发生在BC段Tmax=4kN·m(torsion)4kN·m2kN·m+_点名T（2）求轴的最大切应力，并指出其位置max最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径.tmaxmaxWTM1M2ABCllMPa5.34)1(16π43maxDTmax点名1、数学表达式（Mathematicalformula)四、强度条件(StrengthCondition)2、强度条件的应用（Applicationofstrengthcondition)强度校核（Checktheintensity)设计截面（Determinetherequireddimensions)确定许可核载荷(Determinetheallowableload)][tmaxmaxWT][tmaxWT][maxTA][maxAT点名ABC解：作轴的扭矩图MAMBMC22kN·m14kN·m+_分别校核两段轴的强度例题3图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m.已知材料的许用切应力[]=80MPa，试校核该轴的强度.][MPa84.6416/)12.0(π102216/π33311t11max1dTWT][MPa3.7116/)1.0(π101416/π333222t2ma