中考解直角三角形知识点整理复习

1解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即casin斜边的对边AA②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA2④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα212223cosα232221tanα3313cotα31334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)；（2）平方关系：1cossin22AA（3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1（4）商（弦切）关系：tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦cos，正切tan(4)面积公式：（hc为c边上的高）考点五、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。3仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法三角类型已知条件解法步骤Rt△ABCBcaAbC两边两直角边（如a，b）由tanA＝ab，求∠A；∠B＝90°－A，c＝22ba斜边，一直角边（如c，a）由SinA＝ac，求∠A；∠B＝90°－A，b＝22a-c一边一角一角边和一锐角锐角，邻边（如∠A，b）∠B＝90°－A，a＝b·SinA，c＝bcosAcosA锐角，对边（如∠A，a）∠B＝90°－A，b＝atanA，c＝asinA斜边，锐角（如c，∠A）∠B＝90°－A，a＝c·SinA，b＝c·cosA2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理侧倾器皮尺α、β、水平距离atanα＝1x，tanβ＝2x＝a·tanα·tanβtanα＋tanβ直角三角形的边角关系:ihlhlαβαax1x2ι4tanα＝xatanβ＝x＝a·tanα·tanβtanβ－tanα2)测量底部可以到达的物体的高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理皮尺镜子目高a1水平距离a2水平距离a33ah＝21aa，h＝231aaa反射定律皮尺标杆标杆高a1标杆影长a2物体影长a31ah＝23aa,h＝231aaa同一时刻物高与影长成正比皮尺侧倾器侧倾器高a1水平距离a2倾斜角αtanα＝21aah,h＝a1＋a2tanα矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α俯角β水平距离a1tanα＝11ah,tanβ＝12ahh＝h1＋h2＝a1（tanα＋tanβ）矩形的性质和直角三角形的边角关系3）测量底部不可到达的物体的高度（1）数学模型所用工具应测数据数量关系根据理论皮尺侧倾器仰角α俯角β高度atanα＝xh1，tanβ＝xah＝a＋h1＝a＋tanαtanβa＝a(1＋tanαtanβ)矩形的性质和直角三角形的边角关系αβxaι镜子1a2a3ahh3a2a1aαh1a2ah1h2hβαα1ah1hαβx5俯角α俯角β高度tanα＝a－hx,tanβ＝xa∴x＝a－htanα＝atanβ∴h＝a－atanαtanβ测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型所用工具应测距离数量关系根据原理皮尺侧倾器仰角α，仰角β水平距离a1侧倾器高a2tanα＝xah11tanβ＝xh1∴h1＝tantantantan1ah＝a2＋h1＝a2＋tantantantan1a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α仰角β高度atanα＝hx,tanβ＝h－axh＝tanαtanα－tanβtanα＝hx,tanβ＝h－ax、h＝tanαtanα－tanβ仰角α仰角β高度atanα＝hx,tanβ＝a＋hxh＝tanαtabβ－tanαhxaαβhAaxαβh1haxαβh1h2a1axαβ6第三部分真题分类汇编详解2007-2012（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25，sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且2AB米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角为18.6，最大夹角为64.5．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角21CFE°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角37CGE°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：3sin375°≈，3tan374°≈，9sin2125°≈，3tan218°≈）ABC北东ADＤＣBＤCGEDBAF第19题图7（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：oooo33711sin37tan37sin48tan48541010，，，）解：（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40º减至35º．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？(结果精确到0.1m．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)（2012）20.（8分）附历年真题标准答案：（2007）19．（本小题满分6分）解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．设BD＝x海里，BCDAB37°48°DCA第19题图40º35ºADBC8在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CDBD，∴CD＝x·tan63.5°．在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝CDAD，∴CD＝(60＋x)·tan21.3°．∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即22605xx．解得，x＝15．答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．…………………………6′（2008）19．（本小题满分6分）解：设CD为x，在Rt△BCD中，6.18BDC，∵CDBCBDCtan，∴xBDCCDBC34.0tan．·····2′在Rt△ACD中，5.64ADC，∵CDACADCtan，∴xADCCDAC1.2tan．∵BCACAB，∴xx34.01.22．1.14x≈．答：CD长约为1.14米．（2009）19．（本小题满分6分）解：由题意知CDAD⊥，EFAD∥，∴90CEF°，设CEx，在RtCEF△中，tanCECFEEF，则8tantan213CExEFxCFE°；在RtCEG△中，tanCECGEGE，则4tantan373CExGExCGE°∵EFFGEG，∴845033xx．37.5x，∴37.51.539CDCEED（米）．答：古塔的高度约是39米．·····························································6分（2010）19．（本小题满分6分）解：设CD=x．在Rt△ACD中，tan37ADCD，则34ADx，∴34ADx.在Rt△BCD中，tan48°=BDCD，则1110BDx，∴1110BDx.……………………4分∵AD＋BD=AB，∴31180410xx．解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．…………………6分（2011）19．（本小题满分6分）CGEDBAF第19题图B37°48°DCA第19题图9（2012）20.（8分）