宁夏中卫市2021届高三下学期3月第一次模拟考试数学(理)试卷及答案

2021年中卫市高考第一次模拟考试理科数学第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1.全集UR，集合2430Axxx，12Bxx，则UABð（）A.1,1B.1,2C.1,3D.1,32.复数11izi，则3z（）A.iB.iC.-1D.13.下列四个命题：①若ab，则22ab；②若ab，cd，则acbd；③若ab，cd，则acbd；④若0ab，0c，则ccab其中正确命题的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为3.1（）A.1230B.1430C.1630D.18305.中心在原点的双曲线C的一条渐近线方程为30xy，则C的离心率为（）A.2B.3C.2或3D.2或2336.已知1cos45，则sin2（）A.225B.2325C.225D.23257.在33的方格中，如图（1），移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.例如图（2）：若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（）次A.3B.4C.5D.68.将函数sin21fxx的图象向右平移6个单位长度后得到函数gx的图象，则函数gx的单调递增区间是（）A.,33kkkzB.,42kkkzC.,44kkkzD.5,1212kkkz9.已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆22224ppxy的切线，切点分别为A，B.若3AB，则p的值为（）A.1B.3C.2D.310.已知符号函数1,0sgn0,0,1,0xxxx，偶函数fx满足2fxfx，当0,1x时，fxx，则（）A.sgn0fxB.404112fC.sgn20fkkZD.sgn2sgnfkkkZ11.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD，12ABAA，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线1AB与1CF所成角的余弦值为m，则（）A.直线1AE与直线1CF异面，且23mB.直线1AE与直线1CF共面，且23mC.直线1AE与直线1CF异面，且33mD.直线1AE与直线1CF共面，且33m12.已知函数2ln2fxxaxaa，若对于12,1,2xx，12xx，都有1212fxfxaxx恒成立，则实数a的取值范围为（）A.1,2B.1,2C.,1D.,1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a，b满足2,3a，231,9ab，则ab的值为____________.14.已知实数x，y满足不等式组2030,1xyxyy，则目标函数2zxy的最大值为____________.15.512axxxx的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x的系数为_____________.16.在ABC△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则22Sabc的最大值为_____________.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列na的前n项和是nS，且22nnSa，等差数列nb中，120b，316b.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）定义：,*,aababbab.记*nnncab，求数列nc的前10项的和10T.18.医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重.比如身高175cm的人，其标准体重为175-105=70公斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了.已知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：编号123456身高（cm）x165171160173178167体重（kg）y606362707158（1）从这6人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；（2）依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的线性回归方程：0.65yxa，但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行残差分析.按经验，对残差在区间3.5,3.5之外的同学要重新采集数据.问上述随机抽取的编号为3，4，5，6的四人中，有哪几位同学要重新采集数据?参考公式：残差iiieybxa.19.如图，在平行四边形ABCD中，1AB，2BC，6ACB，四边形ABEF为直角梯形，//BEAF，2BAF，2BE，3AF，平面ABCD平面ABEF.（1）求证：AC平面ABEF.（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值.20.经过椭圆22:12xCy左焦点1F的直线l与圆2222:12Fxyrr相交于P，Q两点，M是线段2PF与C的公共点，且1MFMP.（1）求r的值；（2）若l与C的交点为A、B，且点A恰为线段PO的中点，求2ABF△的面积.21.已知函数2ln,bxfxxaxabRx.（1）若0ab，证明fafb；（2）若对任意0,x，,0be，都有fxe，求实数a的取值范围.选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）22.选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线1l的方程为：3yx，曲线C的参数方程为13cos3sinxy（是参数，0）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出直线1l与曲线C的极坐标方程；（2）若直线2:2sin3303l，直线1l与半圆C的交点为A，直线1l与2l的交点为B，求AB.23.选修4—5：不等式选讲已知函数13fxxa，其中aR.（1）当2a时，解不等式113xfx；（2）设不等式13xfxx的解集为M，若11,32M，求实数a的取值范围.参考答案1-6ABCCDB7-12ADCBDA13.20xy14.015.316.33417.【答案】（1）0.03a，74（2）815（1）因为0.0050.0100.0200.0250.010?10a1所以0.03a，从而样本平均数为（45?0.00555?0.01065?0.02075?0.03085?0.02595创0.010）10=74（2）根据分层抽样，在40,50内选取2人，记为A，B，在90,100内选取4人，记为a，b，c，d.从这6人中选取2人的所有选取方法：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种.2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种.所以所求概率为815.18.【解析】：（1）设等差数列na的公差为d，由21a，41a，81a得233337ddd，解得3d或0d（舍），故1123131naandnn.（2）由（1）知331nbn，1911331323132nnbbnnnn12231111111119332558313223264nnnbbbbbbnnnn依题有9456432nn，解得10n.19.解：（I）连1BC，设1BC交1BC于O，连OD则1//ODAB，OD面1BDC，得1AB平行平面1DBC（2）∵1BAACBAAC即640.65169a，解得45.85a，所以回归直线方程为0.6545.85yx残差分析：3620.6516045.853.85e4700.6517345.853.4e5710.6517845.851.15e6580.6516745.854.7e故3号和6号需要重新采集数据.19.（1）证明：在ABC△中，∵1AB，2BC，6ACB，由正弦定理得3AC∴222ACABBC，即ACAB.又∵平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，AC平面ABCD，∴AC平面ABEF；（2）解：由平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，2BAF可得AF平面ABCD，又由（1）知AC平面ABEF.以A为坐标原点，分别以AB，AF，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则0,0,0A，1,0,0B，0,0,3C，1,0,3D，1,2,0E，0,3,0F，2,2,3DE，1,3,3DF设平面DEF的一个法向量为,,nxyz，由2230,330nDExyznDFxyz取4x，得3,3,4n；0,3,0AF是平面ABCD的一个法向量.设平面ABCD与平面DEF所成锐二面角为，则3366coscos,2233163nAFnAFnAF.即平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值为6622.20.解：（1）由22:12xCy得长轴长222a，半焦距1c，因为点M在椭圆C上，所以12222MFMFa，因为1MFMP，所以2212||22rPFMPMFMFMF；（2）设11,Axy，22,Bxy，A为线段P的中点，则12AFAF，由11,0F，21,0F，1111,AFxy，2111,AFxy，所以22211110AFAFxy，联立221112xy，解得10x，11y或-1，若11y，则0,1A，直线l的方程为1yx，联立1yx和椭圆方程2222xy，可得41,33B，所以2ABF△的面积12121144  22233SFFyy.若11y，同理可求得2ABF△的面积43S综上可知：2ABF△的面积为43.21.证明：（1）要证fafb，需证21lnbnababba，因0b即证ln1anbbaab，即证11nanbabab，设lnxgxxx，则gagb即证gx在0,上单调递增2221ln1ln1xxxgxxx，设21lnhxxx，则21212xhxxxx，令0hx，得22x，当20,2x时，0hx，hx单调递减；当2,2x时，0hx，hx单调递增.∴min23ln2022hxh，即0gx在0,上恒成立，∴gx在0,上单调递