贝叶斯分析在风险型决策中的应用

学术探讨《财经界》296贝叶斯分析在风险型决策中的应用马竞（西南民族大学管理学院，成都，610041）摘要：本文介绍了风险型决策的概念和特点，简述了贝叶斯分析的基本理论，并通过一个具体实例，阐明了贝叶斯分析在风险型决策中的应用。关键词：风险型决策贝叶斯分析期望损失中图分类号：F224文献标识码：A文章编号：1009—2781（2007）12—0296—021、风险型决策风险决策就是不完全信息下的决策,是根据风险管理的目标,在风险识别和风险衡量的基础上,对各种风险管理方法进行合理的选择和组合,并制定出风险管理的具体方案的过程。风险决策贯穿于整个风险管理过程,它依据对风险和损失的科学分析选择合理的风险处理技术和手段,从若干备选方案中选择一个满意的方案。风险型决策的特点是：决策人无法确知将来的真实自然状态，但他能给出各种可能出现的自然状态，还可以给出各种状态出现的可能性，即通过设定各种状态的（主观）概率来量化不确定性。每个风险型决策问题都包含三个要素:自然状态(各种自然状态形成状态集)、决策者采取的行动(构成行动集)、决策者希望达到的一个目标(用收益或损失函数描述)。从这三个要素出发,可以得到不同的风险情景空间。例如,要开发一种新产品,在市场需求无法准确预测的情况下,要确定生产或不生产,生产多少等问题就是一个风险决策问题。状态集就是市场鐀售情况,如鐀路好、鐀路一般、鐀路差等,这些状态不受决策者控制,而决策者做出某种决策后,后果也不确定,带有风险。所以,在风险型决策中,准确而又充分地估计信息的价值,合理地在信息的收集上增加投入来获取不断变化的市场信息,及时掌握各种自然状态的发生情况,可以使决策方案的选择更可靠,进而增加经济效益。2、贝叶斯分析理论2.1贝叶斯定理设A、B为随机试验中的两个事件，且A1，A2，…An为一完备事件组，()Bπ〉0，在事件B出现的条件下，事件Ai出现的条件概率用()BAiπ表示，则可得贝叶斯公式，亦即贝叶斯定理：()()()()()()()()∑=×=×=njjjiiiiiAABAABBAABBA1ππππππππ（2.1）其中B是随机试验的结果或称观察值，()()()nAAAπππ,,,21称为先验概率（亦称验前概率），()()()BABABAnπππ,,,21称为后验概率（或验后概率）。式中()iABπ表示在事件Ai发生的条件下B发生的条件概率，()Bπ是事件B发生的全概率，即：()()()iniiAABBπππ∑==1（2.2）2.2贝叶斯风险与贝叶斯规则⑴风险函数给定自然状态θ，采取决策规则δ时损失函数()()xlδθ,对随机试验后果x的期望值成为风险函数（riskfunction），记作()δθ,R，即()()()[]xlERXδθδθθ,,=（2.3）⑵贝叶斯风险当自然状态的先验概率为()θπ，决策人采用策略δ时，风险函数()δθ,R关于自然状态θ的期望值称为贝叶斯风险，记作()δπ,r，即()()[]()()[]xlEERErXδθδθδπθππ,,,==（2.4）如果()()21,,δπδπrr，则称策略1δ优于2δ，记作21δδ;。⑶贝叶斯决策规则先验分布为()θπ时，若策略空间∆存在某个策略《财经界》学术探讨297πδ，能够使∆∈∀δ，有()()δπδππ,,rr≤（2.5）则称πδ是贝叶斯规则，亦称贝叶斯策略。2.3贝叶斯分析⑴正规型贝叶斯分析根据贝叶斯决策规则，当观察值为x，先验分布为()θπ时，昀优的决策规则是贝叶斯规则πδ：()(){}δπδπδπ,min,rr∆∈=（2.6）选πδ使()δπ,r达到极小，这就是贝叶斯分析的正规型。⑵贝叶斯分析的扩展型由于用贝叶斯分析的正规型解实际问题时，直接求πδ往往十分困难，Schlaifer（1961）提出了贝叶斯分析的扩展型：对每个观察值x，选择行动a,使之对给定x时自然状态θ的后验分布()xθπ的期望损失为昀小，或者使'r极小化，即可求得贝叶斯规则πδ。其中，()()()()θθπθδθθdxfxlr⋅=∫Θ∈,'（2.7）2.4采样信息的期望价值贝叶斯分析是需要进行随机试验的，而随机试验是有费用的。如果通过试验收集到的新信息所降低的损失还不足以支付试验费用，则试验是不值得进行的。因此需要计算试验所获得信息的实际价值，计算过程如下：当决策人不知道自然状态θ的确切情况时，只能在行动集中选择一个行动使期望损失极小化，这是的期望损失是()[]alEAa,minθπ∈（2.8）采样获得新信息后的期望损失是贝叶斯风险的极小值，即()(){}δπδπδπ,min,rr∆∈==()()[]{}xlEEXδθθπδ,min∆∈（2.9）两者之差称为采样信息的期望价值，简记EVSI，EVSI=()[]alEAa,minθπ∈－()()[]{}xlEEXδθθπδ,min∆∈（2.10）3、贝叶斯分析在风险型决策中的应用实例某厂面临两种选择:生产新产品和仍然生产老产品,客观形势有两种可能,这类商品畅鐀和滞鐀。经过风险估计和经济测算,决策矩阵如表1所示：收益方案畅鐀S1（P(S1)=0.6）滞鐀S2（P(S2)=0.4）生产新产品A18-3生产新产品A2-410表1()1,APr=0.6×(-8)+0.4×3=-4.8+1.2=-3.6（万元）()2,APr=0.6×4+0.4×(-10)=2.4-4=-1.6（万元）风险r小者优，()1,APr昀小，显然生产新产品A1是贝叶斯规则，即贝叶斯行动。现在工厂关心的是,当得到一个调查结果时,实际上两种可能状态的概率各是多少,也就是要找出修正后的后验概率，此概率可用贝叶斯公式求出,即()()()()jijijiZPSZPSPZSP=(i=1,2j=1,2,3)而()()()()()2211SZPSPSZPSPZPjjj+=(j=1,2,3)其中()()ijiijSZPSPP=(i=1,2j=1,2,3)利用贝叶斯分析的扩展型进行分析，当调查结果为畅鐀时，方案A1的后验期望损失q1为q1=（-8）×0.923+3×0.077=-7.153(万元)方案A2的后验期望损失q2为q2=4×0.923+（-10）×0.077=-2.922(万元)由贝叶斯规则知选方案A1。同样，用上面的方法计算和讨论可得：当调查结果为滞鐀时,在方案A1与A2间进行抉择,选择方案A2；当调查结果为不确定时,在方案A1与A2间进行抉择,选择方案A2。结论贝叶斯决策属于风险型决策,决策者虽不能控制客观因素的变化,但却可掌握其变化的可能状况及各状况的分布概率,将贝叶斯分析与决策树方法相结合,并利用期望损失值作为决策准则的依据。这为贝叶斯方法在企业的风险经营决策的应用提供了一种可行方法。在此基础上可根据需要选择相关决策规则实现风险决策目标。参考文献：[1]岳超源编著，决策理论与方法[M],科学出版社，2003.[2]徐莉，风险决策方法的进一步研究[J]，武汉水利电力大学学报,1999(32).[3]许谨良，风险管理(第二版)[M]，中国金融出版社,2003.