启航 2019考研数学二真题及参考答案解析

2019全国研究生招生考试数学二真题一、选择题1.当0x时，若xxtan与kx是同阶无穷小，则kA.1.B.2.C.3.D.4.2.）（202xxcosxsinxy的拐点A.2,2B.2,0C.2,D.23,233.下列反常积分收敛的是（）A.dxxex0B.dxxex02C.dxxx021arctanD.dxxx0214.c,b,a,xCCycebyyayx-xx则的通解为已知e)e(21的值为（）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,45.已知积分区域2yx|y,xD）（，dxdyyxID221，dxdyyxID222sin，dxdyyxID)cos1223，试比较321,,III的大小A.123IIIB.321IIIC.312IIID.132III6.已知)()(xgxf是二阶可导且在ax处连续，请问)()(xgxf相切于a且曲率相等是0)()()(lim2axxgxfax的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A是四阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，则*A的秩是A.0B.1C.2D.38.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若EAA22，且4A，则二次型AxxT的规范形为A.232221yyyB.232221yyyC.232221yyyD.232221yyy二、填空题9.2lim(2)xxxx10.曲线sin1cosxttyt在32t对应点处切线在y轴上的截距为11.设函数()fu可导，2()yzyfx，则2zzxyxy12.设函数lncos6yxx（0）的弧长为13.已知函数2sin()xttfxxdtt，则10()fxdx14.已知矩阵1100211132210034A，ijA表示A中(,)ij元的代数余子式，则1112AA三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）已知函数010)(2xxexxxfxx，求的极值并求)()(xfx'f16.（本题满分10分）求不定积分.dxxxxx)1()1(632217.（本题满分10分）)(xyy是微分方程2221'xexxyy满足条件ey)1(的特解.（1）求)(xy（2）设平面区域)x(yy,xy,D021x）（，求D绕轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分）已知平面区域D满足4322yyx|y,x，求.dxdyyxyxD2219.（本题满分10分）xxfS,Nnxnsine)(是的图像与x轴所谓图形的面积，求nS，并求.Snnlim20.（本题满分11分）已知函数)(y,xu满足,yuxuyuxu033222222求b,a的值，使得在变换byaxy,xvy,xu)e()(下，上述等式可化为)(y,xv不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(yxf在1,0上具有二阶导数，且101)(,1)1(,0)0(dxxfff，证明：（1）存在)1,0(，使得0)('f；（2）存在)1,0(，使得2)(''f.22.（本题满分11分）已知向量组（Ⅰ）4111，4012，32123a，（Ⅱ）3111a，a1202，33123a，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a的取值，并将用321,,线性表示.23.（本题满分11分）已知矩阵相似与yBxA0001001220022122（1）求yx,，（2）求可逆矩阵,P使得BAPP1x2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学二）1.C2.C3.D4.D5.A6.C7.A8.C9.24e10.22311.z12.3ln2113.)11(cos4114.415.解：当0x时，22ln2ln22ln2=2ln2xxxxxxfxxeexxx.当0x时，e1ee1exxxxfxxxx.当=0x时，01f，22ln000112ln0limlimlimxxxxxxxexxfxxx，00110limlim1xxxxxefex.故22ln20=1e0xxxxxfxxx.令=0fx，得112,1xex.（1）当10,,0,xefxfx单调递减，当1,0,xefxfx，+单调递增，故211=efee为极小值.（2）当0,0,xfxfx-1，单调递增，当10,,0,xefxfx单调递减，故0=1f为极大值.（3）当,1,0,xfxfx单调递减，当0,0,xfxfx-1，单调递增，故11=1fe为极小值.16.17.18.2333sin5444404443322244444sin11=sinsincos22111coscos12coscoscos22432120rIdrdrddrdd19.20.解：,,axbyuxyvxye2222222222axbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyuveavexxuvebveyyuvvveaeaeavexxxxuvvvebebebveyyyy，带入得430340ab，解得3434ab.21.22.解：1231232222111101,,,,,10212344+331+3111101011022001111aaaaaaaa（1）当210a，即1a时，123123,,3,,,3rr，此时两个向量组必然等价，且3123=+.（2）当=1a时，123123111101,,,,,011022000000此时两个向量组等价，3123=232+kkk.（3）当=1a时，123123111101,,,,,011022000220.此时两个向量组不等价.23.（1）A与B相似，则()()trAtrB，AB，即41482xyxy，解得32xy（2）A的特征值与对应的特征向量分别为1=2，11=20；2=1，22=10；3=2，31=24.所以存在1123=P,,，使得111212PAP.B的特征值与对应的特征向量分别为1=2，11=00；2=1，21=30；3=2，30=01.所以存在2123=P,,，使得122212PAP.所以112211=PAPPAP，即1112112BPPAPPPAP其中112111212004PPP.(答案仅供参考)