高中数学涂色问题常用技巧-

高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有44A=24种涂法。例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，13421342至少要用三色涂空，才能满足要求。法1：1）恰用三色：212334C=48种涂法；2）恰用四色：同例1，有24种涂法。共有24+48=72种涂法。法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。一、区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？一、间空涂色法；法1、用空分类选择1，31）1，3同色，则1，3有14C种方法，2有13C种方法，4不可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34种方法。2）1，3不同色，则1，3有24A种方法，2有12C种方法，4与115243同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。法2：公式法共有35+3（-1）5=240种方法。定理：用m种颜色（可选择）填圆形区域的n个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(mmnn种。证明：如图，设有an种不同涂法。不妨把之剪开,化为矩形区域,共有1)1(nmm种涂法,但区域1、n不能涂同色，把1、n捆绑成一个空，有an-1种涂法，则11)1(nnnamma1)1(111)1()1()1(11111mmmammmmamammaannnnnnnnn其中)1(22mmAam，设1,)1(2mmbmabnnn则令rbmrbnn11，则r=1，可知，。m，mbbn为公比的等比数列为首项是以数列11111}1{21n2…3123…..nnnnnnnnmmmmma，mmb111]111[1111111122这个公式适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题，不适用于“恰用色”问题。例4（2003江苏）四种不同颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不同色的涂法共有种。解析：依题意，四种颜色都要用上，属于恰用色，同时，填这六个空最少要4种颜色，属于保低色，可用公式。把左图等价转化为右图.先涂1：有4种方法；余下3色涂5个空（圆形）有（3-1）5+(-1)5（3-1）=30种涂法,由分步计数原理,共有120种涂法.若用间空涂色,可这样考虑:1）涂1,有4种方法，余下3种颜色；2）2、4同色，有13C种涂法；此时，3有2种涂法；5与3同色时，6有1种涂法（颜色要用完）；5与3不同色时，5有1种涂法，此时6有1种涂法，共有12)11(23种涂法；2、4不同色，有23A=6种涂法；此时3有1种涂法；若5与3同色，6625134625134有1种涂法；5与3不同色，6有2种涂法（与4，或3同色）共有211(16）=18种涂法；综上所述，由分步计数原理，共有120种涂法评析：分类讨论，种类繁多，要做到不重不漏，必须小必应对，任何方法都不是万能的，关键是要熟练掌握。变式：（2003全国）一个行政区分为5个区域，用4种颜色给地图涂色，要求邻居空不同色的不同涂色方法有种。二、点涂色问题用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题，是做题的关键。例5、用4种颜色给四面体的四个顶点涂色，要求邻点不同色的涂法共有多少种？解析；一脚把点P踩到ABC平面，问题等价转化为给下图涂色。共有24)13(2)1(433种，即44A种涂法。13154PABC4123变式：用5种颜色给四面体的四个顶点涂色，要求邻点不同色的涂法共有多少种？答案：45C44A，或)33(315C=120种三、线段涂色用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题。例5、用6种颜色给四面体的6条棱涂色，要求邻棱不同色的涂法共有多少种？解析：把图转化为：1）恰用3色，则1、6；2、5；3、4分别同色，有1203336AC种涂法；2）恰用4色，则1、6；2、5；3、4有两对分别同色，如1、6；2、5同色，3、4有24A种涂法，两同色组有22A种涂法，共有46C23C24A22A种涂法3）恰用5色，则1、6；2、5；3、4有1对分别同色，如1、6；则3、PABCPABC1234564512364，2、5有44A种涂法，共有46C13C44A种涂法4）恰用6色，有66A种涂法；综上所述：共有4080种涂法。评析，若你很难转化为区域问题，就不要转化，按线段的相对性可做。四、面涂色问题同上面说过的方法类似，能转则转，否则用面的相对性求解。例7、用6种颜色（可选择）给正方体的6个面涂色，要求邻不同色，有多少种不同的涂法？解析：图转化为1）恰用3色，有34A=24种；2）恰用4色，有23C44A=72种共有96种。五、恰用色与可选色的联系设保底色为涂法数为am，恰用色涂法数为an，则可选色涂法数D`C`A`B`DCAB654123Bn=am+am+1+…+an例8、用4种颜色给如下区域涂色，颜色必须用完，相邻区域不同色，有多少种涂法解析：按要求涂色，最少要3种颜色（保底色），用3色涂之，1有3种；2有2种；3有1种；4与1同色时，5有2种，4与2同色时，5有2种，共有96)22123(34C种涂法；4色可选时，有21633234种；那么，恰用四色有216-96=120种。法2：1、4或2、4同色，有4821234种；1、4，（2、4）不同色，有7231234种共有120种。总之，涂色问题比较复杂，做题时，分类要清楚，可用空分类，也可用色分类，在做题上掌握斯技巧；注意等价转化，末两空捆绑等方法，；注意颜色用完与可选的区别。13452