第2讲“边对角”问题处理策略

第2讲“边对角”问题处理策略知识必备一、等腰直角三角形与“半角模型”如图1，在等腰三角形ABC中，若45DCE，则有如下平方和关系：222DEBEAD，此模型可称为“半角模型”，可用旋转法加以证明.45°D'DABACBE45°DDD'DAABCOCBECAB45°DDD'DAABCOCBECAB图1图2图3二、“母子型相似”与广义“射影定理”如图2，若BACD，则有ACD∽ABC，此相似结构常被称为“母子型相似”，导边可得ABADAC2(广义射影定理)注意：以上定理不可直接使用，在解答题中需要利用比例式加以证明.三、圆周角与圆心角如图3，⊙O中同弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半，如AOBDC21.注意：一条弧所对的圆心角只有一个，圆周角有却有无数个，其中有两个特殊的圆周角，其一边过圆心，常用于转移角方法提炼策略一：角处理的常见策略“边对角”问题属角的存在性问题的特例，具备角处理的通解通法，比如构造“一线三等角”“母子型相似”“整体旋转法”等，具体见前文.策略二：“边对角”辅助圆由于“边对角”问题的特殊性，又会产生新的特殊解法，常可以构造辅助圆解题，其核心结构如图4所示.2αα定角定边α定角定边D'BABCMABABC注意：有圆，常用“定边对定角”，反过来，有“定边对定角”，常可以思构辅助圆.策略三：“半角模型”45角常与“半角模型挂钩”，可尝试构造解题.实战分析例1如图，已知：CBA，，、，)60()40(为x轴正半轴上一点，且满足45ACB，则点C的坐标为.xyx644x10EDCBAOC变式1：如图，在ABC中，ABCO于点O，64OBOA，，且30ACB，求OC的长.x6430°OEDABC变式2：如图，在ABC中，ABCO于点o，8OA,12OB,且2tanACB,求OC的长。例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线mxy分别交x轴、y轴于A,B两点，已知点C(2,0)(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；(2)设点P为线段OB的中点，连结PA,PC，若ABOCPA，则m的值是。总结：解决“边对角”问题，即所谓“张角问题”，有以下几种常见的处理策略：①构造“母子型相似”；②构造“一线三等角”（“一线三直角”）；③构造“辅助圆”；④构造“半角模型”⑤“整体旋转法”等，如何灵活运用，何以应对自如，需要具体问题具体分析。类题巩固1.如图，在平面直角坐标系中，点)30()01(，，，BA，C是x轴负半轴上的一点，且45ABC，求点C的坐标.变式：已知点)06()01(，，，CA，B是y轴正半轴上的一点，且45ABC，求点B的坐标.xy45°DCBAOABC2.如图，在ABC中，90C，点D在边BC上，连接AD，若BCAD，43tanBAD，52BD，求线段AC的长.xy45°DCBAOABC3.如图，直线cb////a，b与a之间的距离为3，b与c之间的距离为6，a、b、c分别经过等边ABC的三个顶点，则此三角行的边长为。4.如图，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数xky的图像上，作射线AB，在将射线AB绕点A按逆时针方向旋转o45，交反比例函数图像于C点，则点C的坐标为。