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走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练三选考专项练第一部分30(文28)不等式选讲考向分析考题引路强化训练231易错防范4考向分析单独命制含绝对值不等式的解法或含参数的讨论问题及证明不等式，其中恒成立问题和不等式有解的讨论是重点考查、经常考查内容．考题引路考例1(2015·新课标Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[立意与点拨]考查含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法和运算求解能力、分类讨论思想．(1)分类讨论去掉绝对值符号求解；(2)求出△ABC的三个顶点的坐标，得出三角形的面积，再列不等式求解．[解析](1)当a＝1时，不等式f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|＞1，等价于x≤－1－x－1＋2x－2＞1或－1＜x＜1x＋1＋2x－2＞1或x≥1x＋1－2x＋2＞1，解得23＜x＜2，所以不等式f(x)＞1的解集为{x|23＜x＜2}．(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x＜－13x＋1－2a，－1≤x≤a－x＋1＋2a，x＞a，所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a－13，0)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，所以△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)2＞6，解得a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．考例2(2015·湖南理，16)设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．[立意与点拨]考查1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法和转化化归思想、推理论证能力．(1)将已知条件中的式子可等价变形为ab＝1，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法，假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，可求得0a1,0b1，从而与ab＝1矛盾，即可得证．[解析]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2；(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0得0a1，同理0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾，故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．易错防范案例对不等式的条件不能正确转化致误(2015·海口调研)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围；(3)若f(x)＋f(x2)≥3恒成立，求a的取值范围．[易错分析](1)不能正确去掉绝对值符号转化为分段函数，再解不等式或讨论其他问题．(2)不能对“存在实数n，使f(n)≤m－f(－n)成立”进行等价转化．(3)弄不清“存在”“恒成立”“有解”“无解”等的含义导致解题错误．[解答](1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋1，∵f(x)≤6，∴|2x－1|≤5，∴－5≤2x－1≤5.∴－2≤x≤3，∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2≥|(2n－1)－(2n＋1)|＋2＝4，当且仅当(2n－1)(2n＋1)≤0，即－12≤n≤12时取等号，∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．(3)不等式f(x)＋f(x2)≥3可化为|2x－a|＋|x－a|≥3－2a，令g(x)＝|2x－a|＋|x－a|，则g(x)≥3－2a恒成立⇔g(x)min≥3－2a.∵g(x)＝2a－3x，xa2，x，a2≤x≤a，3x－2a，xa.∴g(x)min＝a2.∴a2≥3－2a，解之得，a≥65.综上知a的取值范围是[65，＋∞)．[警示]对于不等式的问题，要注意是存在x∈A时不等式成立，还是对任意x∈A，不等式都成立？还是解不等式．含绝对值的不等式要注意正确去掉绝对值符号转化为分段函数．