计数原理-排列组合

1/7排列组合知识点一、排列定义:一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；排列数用符号mnA表示对排列定义的理解：定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc与acb是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(NmnmnnnnAmn我们把正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用!n表示，即12)2()1(!nnnn，并规定1!0。全排列数公式可写成!nAnn.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn（主要用于化简、证明等）二、组合定义:一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；组合数用符号mnC表示对组合定义的理解：取出的m个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。组合数公式：),()!(!!!)1()2)(1(nmNmnmnmnmmnnnnAACmmmnmn，且变式：),,()!()1()2)(1()!(!!nmNmnCmnmnnnmnmnCmnnmn且2/7组合数的两个性质1、mnnmnCC①计算mnC时，若2nm＞，通常不直接计算mnC，而改为计算mnnC，这样可以减少计算量②为了使这个公式在nm时也成立，我们规定10nC，这只是一个规定，并没有实际的组合意义2、11mnmnmnCCC题型一投信问题【例1】1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？题型二染色问题1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.2.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．3/73.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．123456789题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。题型四顺序一定问题1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？4/7题型五平均分配与不平均分配问题1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？题型六综合1、用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数.2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.960种C.720种D.480种6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为.（用数字作答）5/7【过关练习】1.由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法）2.3名男生，4名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？3.甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？4.7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一定相邻），则共有多少种不同的站法？5.在100个零件中有80个正品、20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？6.求方程104321xxxx的正整数解的组数7.将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额的分配方式有多少种？6/7课后练习【补救练习】1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．6482.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.363.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种4.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.188C.216D.965.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_____种。6.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）。7.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种。【巩固练习】1.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.282.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36种B.48种C.72种D.96种3.在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）A，B必须当选；（2）A，B必不当选；（3）A，B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.3727/7【拔高练习】1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.3.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？