LFM信号脉冲压缩三种结果及其统一表示

第32卷第4期2018年8月空军预警学院学报JournalofAirForceEarlyWarningAcademyVol.32No.4Aug.2018收稿日期：2018-06-28基金项目：国家自然科学基金资助项目(61671469)作者简介：朱名烁(1995-)，男，硕士生，主要从事信号处理技术与应用研究．DOI:10.3969/j.issn.2095-5839.2018.04.001LFM信号脉冲压缩三种结果及其统一表示朱名烁，夏赛强，陈文峰，杨军（空军预警学院，武汉430019）摘要：针对文献中LFM信号脉冲压缩输出结果表示不统一问题，首先给出了LFM信号脉冲压缩结果的三种典型表示形式；然后利用频域相乘法实现原理，导出了其统一脉冲压缩结果的表达式；最后分析了该统一表达式与三种典型结果的关系及变换条件，并通过仿真实验证实了本文理论结果和分析的正确性．关键词：LFM信号；脉冲压缩；频域相乘法；幅度峰值中图分类号：TN958.3文献标识码：A文章编号：2095-5839(2018)04-0235-04线性调频(LFM)信号已广泛用于现代雷达中，通过对LFM信号进行脉冲压缩处理可解决雷达探测距离和距离分辨率之间的矛盾[1-2]．LFM信号脉冲压缩的实现通常有时域卷积法和频域相乘法[3]．时域卷积法是雷达发射信号与线性滤波器的冲激响应函数在时域直接进行卷积完成脉冲压缩，这种方法最大的缺点在于运算量大，耗时长．频域相乘法则是先用傅里叶变换将待卷积的2个信号分别变换到频域，然后2个信号在频域相乘处理，最后再逆傅里叶变换到时域，完成压缩．这种方法最大的优点是可以采用快速方法，耗时短，利于实时处理，本文在推导LFM信号脉冲压缩结果中采用了这种方法．从目前公开的文献看，不同文献脉压结果不尽相同[4-8]，结果表示也不尽相同，表达式的边界条件也不完整，这给信号结果的选择参考带来不便．针对上述问题，本文在现有文献给出的3种典型脉冲压缩结果的基础上，首先将3种典型LFM信号的脉压结果进行统一，然后分析了3种不同匹配滤波器的频率响应函数对应的脉冲压缩输出结果，对3种脉压结果进行了归纳，分析了LFM信号脉压输出的理论模拟域推导结果和实际离散化处理后的脉压结果之间的对应关系，最后对统一后的3种脉压结果进行了仿真，证明了本文给出的统一脉冲压缩结果表达式是正确的．1现有三种脉压结果及表示LFM信号进行脉冲压缩过程是雷达发射端发射LFM信号，接收端将接收到的回波信号采用匹配滤波进行处理．本文选用的参考文献以及理论推导过程都是通过频域相乘法进行脉冲压缩处理，为了统一计算和分析方便，将进行脉冲压缩的回波信号的时延τ视为零，但匹配滤波器的单位冲激响应里的t0不规定为零，以正调频斜率LFM脉冲信号为例．1)文献[4]中的LFM信号为s(t)=Arect(t/T)exp[j(πμt2+2πf0t)](1)式中，A为脉冲幅度，T为脉冲宽度，B为调频带宽，μ=B/T为线性调频率，f0为信号载频，文中给出当匹配滤波器的单位冲激响应为h(t) =μ1/2A-1s*(-t)(2)时，回波信号对应的脉压结果为so(t)=AD1/2sinc(Bt)exp(j2πf0t)(3)式中，时带宽积D=BT，函数sinc(x)=sin(πx)/(πx)．2)文献[5]中进行脉冲压缩处理的LFM信号与式(1)相同当匹配滤波器的单位冲激响应为h(t) =Aμ-1/2s*(t0-t)(4)时，LFM信号对应的脉压结果为so(t)=AD1/2sinc[B(t-t0)]exp[j2πf0(t-t0)](5)3)文献[6]中的LFM实信号为s(t)=Arect(t/T)cos(πμt2+2πf0t)(6)匹配滤波器的单位冲激响应为h(t) =s*(t0-t)(7)得到的脉压结果为so(t)=0.5A2Tsinc[B(t-t0)]cos[2πf0(t-t0)](8)从上可知，现有的可公开文献中，由于进行脉冲压缩处理的LFM信号的表示形式不一样，或者采用的匹配滤波器的单位冲激响应不一样，空军预警学院学报2018年236脉压结果表示不尽相同．2LFM信号脉冲压缩统一表示与分析为统一脉压结果，本文先对要进行脉压处理的LFM信号的表示形式统一化，然后从理论上进行分析，最后对上述3种脉压结果进行相应的解释．2.1LFM信号脉冲压缩统一表示在时域中，去载频后的LFM为s(t)=Arect(t/T)exp(jπμt2)(9)式中，T为脉宽，A为振幅，μ是线性调频率，μ=B/T0，B是带宽．对式(9)进行傅里叶变换得S(f)=A-¥¥rect(t/T)exp[jπ(μt2-2ft)]dt(10)由驻定相位定理[9]可知I(P)=-¥¥a(t)exp[jPφ(t)]dt=(2π)1/2a(t0)exp{j[Pφ(t0±π/4)]}/[P|φ″(t0)|]1/2(11)若将a(t)=rect(t/T)、φ(t)=μt2-2ft和P=π代入式(11)中，可得式(9)经过傅里叶变换的结果：S(f)=Aμ-1/2rect(f/B)exp[j(-πf2/μ+π/4)](12)线性调频信号脉冲压缩实质上是一次匹配滤波过程，匹配滤波器的频率响应函数[10]为H(f)=kS*(f)exp(-j2πft0)(13)由此得到匹配滤波后的信号频谱为So(f)=S(f)H(f)=kA2μ-1rect(f/B)exp(-j2πft0)(14)经过傅里叶逆变换可得so(t)=-¥¥So(f)exp(j2πft)df=kA2Tsinc[B(t-t0)](15)在实际应用过程中，一般不考虑式(13)中的线性相位因子exp(-j2πft0)[5]，即直接取t0=0，因此有sout(t)=kA2Tsinc(Bt)(16)由于匹配滤波器的单位冲激响应的取值不同，导致最终的脉压输出结果也大不相同，下面对3种常用的单位冲激响应进行详细分析．2.2第一种脉压结果分析当匹配滤波器的单位冲激响应取式(2)时，匹配滤波器的频率响应函数为H1(f)=rect(f/B)exp{-j(-πf2/μ+π/4)}(17)由此得到匹配滤波后的信号频谱为S1(f)=S(f)H1(f)=Aμ-1/2rect(f/B)(18)经傅里叶逆变换得脉压结果为sout1(t)=ATμ1/2sinc(Bt)=AD1/2sinc(Bt)(19)在雷达对接收到的回波信号进行脉冲压缩处理之前，都会去载频，在实际脉压过程中不考虑信号载频部分．含有载频的LFM信号进行脉压之后会留下相位因子，故式(19)结果与文献[4]中去载频的LFM信号对应的脉压结果相同，即式(3)结果去掉相位因子exp(j2πf0t)后与式(19)结果相同．式(4)对应的匹配滤波器频率响应函数为H2(f)=rect(f/B)exp[-j(-πf2/μ+π/4)]exp(-j2πft0)(20)由此得到匹配滤波后的信号频谱为S2(f)=S(f)H2(f)=Aμ-1/2rect(f/B)exp(-j2πft0)(21)经傅里叶逆变换得脉压结果为so2(t)=ATμ1/2sinc[B(t-t0)]=AD1/2sinc[B(t-t0)](22)式(22)结果与文献[5]中去载频的LFM信号对应的脉压结果相同，即式(5)的结果去掉相位因子exp[j2πf0(t-t0)]后与式(22)结果相同．而正如前面所言，在实际应用中令t0=0，此时so2(t)=AD1/2sinc(Bt)=sout1(t)(23)2.3第二种脉压结果分析当匹配滤波器的单位冲激响应取式(7)时，匹配滤波器的频率响应函数为H3(f)=Aμ-1/2rect(f/B)exp[-j(-πf2/μ+π/4)]×exp(-j2πft0)(24)对应的匹配滤波后的信号频谱为S3(f)=S(f)H2(f)=A2μ-1rect(f/B)exp(-j2πft0)(25)经傅里叶逆变换得脉压结果为sout2(t)=A2Tsinc[B(t-t0)](26)令t0=0，有sout2(t)=A2Tsinc(Bt)(27)由于匹配滤波器的单位冲激响应中的k取值不同，所以LFM信号脉冲压缩输出的结果不同，第二种脉压结果中取k=1，第一种脉压结果中取k=μ1/2/A，故式(27)中的sout2(t)乘以μ1/2/A，可得式(19)的sout1(t)．2.4第三种脉压结果分析若LFM实信号为s1(t)=Arect(t/T)cos(πμt2)(28)那么由驻定相位定理可知，式(28)的s1(t)经过傅里叶变换可得Sa(f)=Aμ-1/2rect(f/B)cos(-πf2/μ+π/4)(29)当匹配滤波器的单位冲激响应取式(7)时，匹配滤波器的频率响应函数为H4(f)=Aμ-1/2rect(f/B)cos(-πf2/μ+π/4)(30)对应的匹配滤波后的信号频谱可表示为S4(f)=Sa(f)H4(f)=0.5A2μ-1rect(f/B)[1+sin(2πf2/μ)](31)经傅里叶逆变换得脉压结果为第4期朱名烁，等：LFM信号脉冲压缩三种结果及其统一表示237sout3(t)=0.5A2Tsinc(Bt)cos(πBt|t|/T)-A2T2πBtcos(πBt)sin(πBt|t|/T)(32)故在t=0附近，有A2T2πBtcos(πBt)sin(πBt|t|/T)»0，此时sout3(t)»0.5A2Tsinc(Bt)(33)由此可知，在t=0附近，LFM实信号经过脉冲压缩处理后其绝对幅度值为相同的LFM复信号脉冲压缩后的一半，进行脉压处理的信号形式不一样导致最终的脉压结果不一样，这也正是在3种文献中看到的脉压结果不尽相同的原因，本文将这3种文献信号形式进行统一，从而得到统一正确的结果．在3种脉压结果对应的处理过程中，雷达接收到的时域信号s(t)及其傅里叶变换S(f)、匹配滤波器的单位冲激响应h(t)及其频率响应函数H(f)、匹配滤波后的信号频谱Sout(f)及其脉压结果统一表示形式sout(t)如表1所示．在实际脉压处理中，一般采用数字形式实现，即在计算机采样实现数字化后进行处理，若表13种情况下脉压结果表示信号s(t)S(f)h(t)H(f)Sout(f)sout(t)第一种情况Arect(t/T)exp(jπμt2)Aμ-1/2rect(f/B)exp[j(-πf2/μ+π/4)]μ1/2A-1s*(-t)=μ1/2rect(t/T)exp(-jπμt2)(k=μ1/2A-1)rect(f/B)exp[-j(-πf2/μ+π/4)]Aμ-1/2rect(f/B)AD1/2sinc(Bt)第二种情况Arect(t/T)exp(jπμt2)Aμ-1/2rect(f/B)exp[j(-πf2/μ+π/4)]s*(-t)=Arect(t/T)exp(-jπμt2)(k=1)Aμ-1/2rect(f/B)exp[-j(-πf2/μ+π/4)]A2μ-1rect(f/B)A2Tsinc(Bt)第三种情况Arect(t/T)cos(πμt2)Aμ-1/2rect(f/B)cos(-πf2/μ+π/4)s*(-t)=Arect(t/T)cos(πμt2)(k=1)Aμ-1/2rect(f/B)cos(-πf2/μ+π/4)0.5A2μ-1rect(f/B)[1+sin(2πf2/μ)]0.5A2Tsinc(Bt)(t=0附近)在时域上采样频率为fs，那么对于脉冲持续时间间为T的线性调频信号而言，对应的序列长度N(正整数)为Tfs，因此理论推导的模拟域上sout1(t)的幅度峰值A2T在离散域上的对应结果为A2Tfs．由带通信号的采样定理[11]可知，当fs³2B时，采样离散化的数字信号才能被完整复原为连续信号．故当采样频率fs=2B，且信号幅度A取1时，sout1(t)对应的离散域上的脉压输出峰值为AD1/2fs=2D1/2B=2μ1/2D(时宽带宽积D=BT)，sout2(t)对应的离散域上的脉压输出峰值为A2Tfs=2TB=2D，sout3(t)对应的离散域上的脉压输出峰值为A2Tfs/2=T