一道经典平行线问题的解答与变式

∴2ABC（角平分线的定义），同理1BCD，∴121800900（等量代换）．∴BEFABE2ABC（平行线的性质、角平分线的定∴FECECD1BCD（同上），一道平行线问题的解答与演变平时学习中，大家都要做大量的习题，其中不少习题的解法具有多样性，题目本身具有典型性、发展性，对这些问题的图形和条件进行一些变化，就会产生一个个颇具思维含量的考试题．下面对一道有关平行线问题进行多角度求解，并进行变式训练，以发展同学们的思维能力．原命题：如图１，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，射线BE与CE交于E．求证：BE⊥CE．分析一：由角平分线的定义易得∠1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的结论进行整体代换，即可解决问题．解法一：整体转化法∵BE平分∠ABC，1212∴121BCDABC（等式性质）．2又AB∥CD，∴BCDABC1800（两直线平行，同旁内角互补），12∴E1800121800900900（三角形的内角和等于180o）．即BE⊥CE（垂直的定义）．点评：解法一综合运用的知识点有：角平分线定义、垂直定义、平行线的性质、等式性质、等量代换、三角形内角和等，运用的数学思想方法是整体代换和转化思想．分析二：作平行线把∠E分成两个角，并将这两个角与∠1、∠2联系起来，进行有效转化．解法二：分解转化法如图２，过点E作EF∥AB交BC于F，又AB∥CD，∴AB∥EF∥CD（平行线的传递性），12义）12∴BECBEFFEC1ABCBCD（等量代换），2又由AB∥CD知ABCBCD1800（两直线平行，同旁内角互补），1∴BEC1800900（等量代换）．∴BEC1800900（等式性质）．∴1BCD，2ABC（角平分线的定义），112即BE⊥CE（垂直的定义）．点评：解法二运用作平行线的方法把∠E分成两个角，并运用平行线的性质和等量代换解题．运用的数学思想方法是分解思想（即化整为零）和转化思想．分析三：要求∠E，只须求出∠E的邻补角即可．延长BE后，出现新的△CEM（如图△3），CEM的三个内角与△BCE的三个内角的度数之和相等，用对应思想便可解决问题．解法三：对应转化法延长BE交CD于M，∵AB∥CD，∴∠CME＝∠ABE＝∠2（平行线的性质和角平分线定义），又12BECECMCMECEM1800（三角形内角和等于180o），而∠1＝∠ECM，∠2＝∠CME（角平分线定义），∴∠BEC＝∠CME（等式性质），又BECCME1800（邻补角），12即BE⊥CE（垂直的定义）．点评：解法三运用的知识点有：平行线的性质、三角形内角和、邻补角性质和等式性质等，运用的数学思想方法是对应思想和转化思想．总结：把原命题概括成一句话，可说成：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．通过对原命题的多种解法的深入探讨，可以加强知识间的联系，实现方法和技能的融会贯通，从而培养思维的深刻性和灵活性．如果仅从解法上进行分析和思考，就题论题，习题的功能便会大打折扣，我们还应该对原命题进行一系列的演变，这样不但可以感受到题目的发展变化，还可以进一步提高我们发现问题、分析问题、解决问题的能力．变式一：探求原命题的逆命题．例1（2012黄石七年级期末考试）如图4，两条直线AB、CD被第三条直线BC所截所成的同旁内角的平分线BE和CE互相垂直，探求AB与CD的位置关系．解：∵BE⊥CE，∴12900（三角形内角和等于180o），又BE、CE平分∠ABC、∠BCD，1222FBEFBCCBE1MBCCBA1800900，∴HEFEFH1GEFEFD1800900（角∴121BCDABC900（等量代换），2∴ABCBCD1800（等式性质），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．说明：进一步可把原命题的条件与结论进行梳理，总结如下：在图４中，直线AB、CD被BC所截，①AB∥CD，②BE平分∠ABC，③CE平分∠BCD，④BE⊥CE，以上任三个作为条件，都可以推出第四个．变式二：在原图基础上，增加另一组同旁内角的平分线．例2（2012安徽中考题）如图5，已知AB∥CD，BE、CE、BF、CF分别是∠ABC、∠BCD、∠NCB、∠MBC的角平分线，BC不与ND垂直，则图中与∠FBE相等的角共有个解析：由原命题的解答可知E900，同理可得：F900；又122同理可得FCE900．因此FBEEFFCE900.即与∠FBE相等的角共有3个．说明：用语言文字概括本例题，可表述为：两条平行线被第三条直线所截，两对同旁内角的平分线组成的四边形是矩形．变式三：在原图基础上，增添两个相等的角或一组平行线．例3（2012新希望杯试题）如图6，∠GEF与∠DFE的角平分线交于点H，AB∥CD，∠B＝∠D．求证：EH⊥HF．证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C（两直线平行，内错角相等），又∠B＝∠D，∴∠AEB＝∠DFC（三角形内角和），又∠AEB＝∠GEF，∠DFC＝∠MFE（对顶角相等），∴∠GEF＝∠MFE（等量代换），∴EG∥FD（内错角相等，两直线平行），则GEFEFD1800（两直线平行，同旁内角互补），又EH、FH为角平分线，122平分线的定义），即BE⊥CE（垂直定义）．说明：在原题的基础上添加平行线后，得到一对内错角相等，并结合其他条件进一步得出BG∥MD，这样就将看似复杂的问题逐步转化成已经解决过的问题（即原命题）．变式四：改变部分条件，设置成有梯度的综合题．3111②同理可证：QH22.50,∴∠G=4∠Q．例4(2012武昌区七年级期末考试)已知，如图7，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE．（1）求证：EM∥FN；（2）如图8，∠DFE的平分线交EM于G，求∠EGF的度数；（3）如图9，∠BEG、∠DFG的平分线交于H点，①试问：∠H与∠G的度数是否存在某种特定的数量关系？并证明你的结论；②若∠BEH、∠DFH的平分线交于Q点，根据①的结论猜想∠Q与∠G的度数关系（不需证明）．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE（两直线平行，内错角相等），又EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，∴2∠FEM＝2∠NFE（角平分线的定义），即∠FEM＝∠NFE（等式性质），∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）；（2）由原命题的解答易得：EGF900，证略；（3）解：①类比（2）的解答，如图10，过H点作HK∥AB，同理可证EHFEHKKHFBEHHFD1BEGHFD21800FEGEFG1800900900450222∴∠EGF=2∠H；12说明：例4是一道一题多问的综合题，有梯度，亦有一定难度．虽然改变了原命题的部分条件，但解决问题所用的知识和方法并没有改变．只要我们掌握了原命题的几种解法的本质特点，解决本题也会得心应手．通过上面的变化，同学们一定知道了试题是如何演变而来的．是的，试题一般都是从经典习题变化而来的．在平时学习中，我们应该高度重视一些典型例题和它们的解法，在此基础上，还要充分引申，挖掘其蕴涵的深层潜力，做到“一题多解”、“一题多变”、“多题一法”，实现知识和技能的融会贯通，从而提高解题能力．这样，我们在考场中便会顺风顺水，左右逢源，取得令人满意的成绩．4