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第二十七章相似四边形或圆中的相似专题类型一四边形中的相似1．如图，在▱ABCD中，EF∥AD，EF交AC于点G，则图中的相似三角形有()A．3对B．4对C．6对D．8对2．如图，菱形ABCD中，点M、N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝.3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在边AD上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)求EF的长．4．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长；(2)问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．类型二圆中的相似5．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是()A．3B．4C．256D．2586．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝42，AC＝5，AD＝4，则⊙O的直径AE＝.7．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．8．如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接BD.(1)求证：∠ADB＝∠E；(2)求证：AD2＝AC·AE；(3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE？请你利用图②进行探索和证明．类型三动态中的相似9．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上，若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为.10．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是.11．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，当t为何值时，DP⊥AC?12．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB＝10，ED＝46，求BG的长．答案：1.C2.43.解：(1)∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF＋∠AEB＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEF；(2)在△ABE中，∠A＝90°，AB＝6，AE＝8，∴BE＝AB2＋AE2＝62＋82＝10，∵DE＝AD－AE＝12－8＝4，△ABE∽△DEF，∴BEEF＝ABDE，∴EF＝BE·DEAB＝10×46＝203.4.(1)解：由题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠QPE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A＝∠Q＝90°，又∵PD＝PE，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ＝AD＝1；(2)解：∵△PFD∽△BFP，∴PBBF＝PDPF，∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A，∴△DAP∽△PBF，∴PDPF＝APBF，∴APBF＝PBBF，∴PA＝PB，∴PA＝12AB＝12，∴当PA＝12时，△PFD∽△BFP.5.D6.527.(1)证明：∵⊙O与DE相切于点B，AB为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠E；(2)解：连接BC，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2×5＝10，∴BC＝AB2－AC2＝6.又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAC＝∠E，∴△ABC∽△EAB，∴ACEB＝BCAB，∴8EB＝610，∴BE＝403.8.(1)证明：∵DE∥BC，∴∠E＝∠ABC.又∵∠ABC＝∠C，∠C＝∠ADB，∴∠ADB＝∠E；(2)证明：∵∠ADB＝∠E，∠DAB＝∠EAD，∴△ADB∽△AED，∴ADAE＝ABAD，即AD2＝AB·AE.又∵∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∴AD2＝AC·AE；(3)解：当点D运动到弧BC的中点时，△DBE∽△ADE.证明如下：∵∴∠DAB＝∠CBD.∵BC∥DE，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠DAB＝∠EDB.又∵∠E＝∠E，∴△DBE∽△ADE.9.32或9410.211.(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△APQ∽△CDQ；(2)解：当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°，∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP，又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，∴△ADC∽△PAD，∴ADPA＝DCAD，∴10PA＝2010，解得PA＝5，∴t＝5.12.(1)证明：如图，连接OC，∵ED⊥AB，∴∠BFG＝90°，∴∠B＋∠BGF＝90°.又∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC，而∠PGC＝∠BGF.∴∠B＋∠PCG＝90°.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO.∴∠BCO＋∠PCG＝90°，则∠PCO＝90°，即OC⊥PC，而OC是半径，∴PC是⊙O的切线；(2)证明：连接OG.∵BG2＝BF·BO，∴BGBF＝BOBG，而∠B＝∠B，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO＝∠BFG＝90°.∴OG⊥BC，∴点G是BC的中点；(3)证明：连接OE.∵AB是⊙O的直径，ED⊥AB，∴EF＝12ED，∵AB＝10，ED＝46，∴EF＝26，OE＝OB＝12AB＝5.在Rt△OEF中，OF＝OE2－EF2＝1，∴BF＝OB－OF＝5－1＝4.∴BG＝BF·BO＝25.