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1/23第三章圆的基本性质3.1圆有关的基本概念：1．定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径；圆O记作ʘO．定义：在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．2．相关概念：（1）连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．（2）圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．（3）圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．（4）半径相等的两个圆叫做____________．（5）弓形：_____________弓形的高：_______________（6）外心：___________________________________考点一：优弧与劣弧☆出题类型一☆：表示出图中的优弧与劣弧优弧是指大于半圆的弧，劣弧是指小于半圆的弧，半圆不是优弧也不是劣弧【例题】表示出图中的各个弧☆出题类型二☆：找出各个弦所对的弧一般来说，每条线所对的弧有两条，除直径外，弦所对的两条弧为一优弧与一劣弧【例题】找出图中所有的弦，并写出弦所对的弧考点二：点与圆的位置关系☆出题类型☆：判断点的位置点与圆有三种位置关系：在圆上，在圆内，在圆外，通过点与圆心的距离可加以判断【例题】已知三角形ABC边长BC=12，AC=5，∠C=90°，D为BCAC中点，以A为圆心，5为半径画圆，则B点在圆，以B为圆心，以12为半径画圆，则A点在圆，以D为圆心，6.5为半径画圆，则C点在圆AOBC2/23考点三：如何确定圆定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．1．过已知点作圆(1)经过一点的圆（以这个点以外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个）(2)经过两点的圆(以连接这两点的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个)(3)经过三点的圆①经过在同一直线上三点不能作圆．②过不在同一直线上三个点可以作且只可以作一个圆．作法是：连接任意两点并作中垂线，再连接另外两点并作中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点和已知三点中任意一点的距离为半径作圆，这样的圆只有一个．2．三角形的外接圆(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形。一个圆有无数个圆内接三角形。3．三角形的“四心”在三角形中：三边垂直平分线的交点叫外心；三角平分线的交点叫内心；三边中线的交点叫重心；三边上高的交点叫垂心正三角形才有中心4．经过四点的圆(四点共圆问题很重要，后续讲解)(1)四点中任意三点都不在同一条直线上，用三条线段将这4个点连接起来，分别作这三条线段的垂直平分线，如果这三条垂直平分线交于一点，则有经过4点的圆，否则没有．(2)要判定4点是否共圆，只要看能否找到一点到这4点的距离相等．(3)运用四边形的内角来判断。【例题】1·下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个2·在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．3·如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．4·已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．3/235·（拓展）阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是cm，这两个圆的圆心距是cm．练习题：1．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm2．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．A．23B．33C．3D．213．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（）A．2B．6C．12D．74．三角形的外心具有的性质是（）A．到三边距离相等B．到三个顶点距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内5．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D．以它为圆心，到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点6．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上7．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形8．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．9．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．10．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB=．11．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH=．12．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．13．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．14．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．15．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．4/233.2图形的旋转1.相关概念（1）定义：在一个平面内，将一个图形绕一个定点沿一个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。五个一（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。（4）会找对应点，对应线段和对应角。2.旋转的基本特征：（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。3.几点说明：（1）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。（2）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。（3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。4．本质规律——旋转不变性【例题】例1.如图，把一块砖ABCD直立于地面上，然后将其轻轻推倒，在这个过程中A点保持不动，四边形ABCD旋转到AD’C’B’位置。（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转角度是多大？（2）指出图中的对应线段。CDC’BAD’B’例2.如图，正方形ABCD中，E是正方形内一点，把AED绕点A按逆时针方向旋转90，得到旋转后的三角形并回答：（1）图中有哪些相等的线段和相等的角；（2）哪两个三角形的形状、大小都一样。ADCBE'E5/23GFAEBDCA’DBACB’例3.如图，小华同学正在黑板上画ABC绕ABC外一点P旋转45的旋转图，当他画完A、B两点旋转后的对应点''BA、时，不小心将旋转中心P擦掉了，没有旋转中心P，小明不知道如何画下去，你能帮助小明找到旋转中心P，使他继续完成剩下的图形吗？CABA’B’CADEB例4.如图，ABC和ADE都是等边三角形，B在AD上，试利用旋转说明BE=CD。例5.同学们曾玩过万花筒，它是由三块等长的玻璃片围成，如图所示，是万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是形状、大小相同的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以A为中心（）A.顺时针旋转60得到的B.顺时针旋转120得到的C.逆时针旋转60得到的D.逆时针旋转120得到的例6.如图，AEBACD，都是等腰直角三角形，90EABCAD，画出ADB以A为旋转中心，顺时针方向旋转90后的三角形。ECBAD练习：1.（基础题）如图，把直角三角形ABC绕直角顶点顺时针方向旋转90°后到达CBA''，延长AB交''BA于D，则'ADA的度数是（）A.30°B.60°C.75°D.90°6/23DCGAFBE2.（基础题）下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（）A.等腰三角形B.平行四边形C.等边三角形D.三角形3.（基础题）如图，等边ABC中，D是BC上一点，ABD经过旋转后至ACE的位置，若15BAD，那么旋转角是（）A.15°B.45°C.60°D.30°ABCEDAECBDFO4.（基础题）如图，四边形OACB绕点O旋转到四边形DOEF，在这个旋转过程中，旋转中心是______，旋转角是_________，AO与DO的关系是_______，AOD与BOE的关系是___________。5.（基础题）如图，CFCBECACBEAC，，，则EFC可以看作是ABC绕点_________按________方向旋转了__________度而得到的。AFBCEAEBDCBCADO6.（基础题）如图，ABC绕点C旋转后得到CDE，则A的对应角是___________，B________，AB=_________，AC=_________。7.（基础题）如图，将四边形ABCD绕点O旋转180后，画出旋转图形。8.（基础题）如图，正方形ABCD中，E在BC上，F在AB上，45FDE，DEC按顺时针方向旋转一个角度后成DGA。（1）图中哪一个点是旋转中心，旋转角等于多少？（2）指出图中旋转图形的对应线段和对应角。（3）求GDF的度数。7/239.（探究题）如图，画出ABC关于直线OM的轴对称图形'''CBA；再画出'''CBA关于ON的轴对称图形''''''CBA，观察ABC与''''''CBA，你能从中发现