教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第八节

高考调研第1页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第八章立体几何高考调研第2页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第8课时空间向量的应用(二)空间的角与距离高考调研第3页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．能够利用空间向量，解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题，体会向量法在立体几何中的应用．2．了解点面距离的求法．请注意在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角和面面角的计算，属于中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多．高考调研第4页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第5页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角．①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．锐角或直角(0，π2]高考调研第7页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习③向量求法：设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为φ，则有cosθ＝.|cosφ|＝a·b|a|·|b|高考调研第8页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)直线与平面所成的角．①定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．②范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是．③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝或cosθ＝.[0，π2]|cosφ|sinφ高考调研第9页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)二面角．①二面角的取值范围是．②二面角的向量求法：[0，π](ⅰ)若AB，CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．高考调研第10页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(ⅱ)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．高考调研第11页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.|AB→·n||n|高考调研第12页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角．高考调研第13页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π2]，二面角的范围是[0，π]．(5)若直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×高考调研第14页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析∵cos〈m，n〉＝－12，∴sin〈m，n〉＝32.∴〈m，n〉＝120°.∴l与α所成的角为120°－90°＝30°.高考调研第15页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析∵m，n＝m·n|m|·|n|＝12＝22，∴m，n＝45°.∴二面角为45°或135°.高考调研第16页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．答案155高考调研第17页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)．∴FD1→＝(－1,0,2)，OE→＝(－1,1,1)．∴cos〈FD1→，OE→〉＝1＋25·3＝155.高考调研第18页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．(2015·沧州七校联考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小．答案(1)略(2)45°高考调研第19页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2)．高考调研第20页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC→＝(2,22，－2)，BF→＝(－1，2，1)，EF→＝(1,0,1)．∴PC→·BF→＝－2＋4－2＝0，PC→·EF→＝2＋0－2＝0.∴PC→⊥BF→，PC→⊥EF→.∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.高考调研第21页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)由(1)知n1＝PC→＝(2,22，－2)是平面BEF的法向量，又取平面BAP的法向量n2＝AD→＝(0,22，0)，∴n1·n2＝8.设平面BEF与平面BAP所成锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|＝84×22＝22.∴θ＝45°.∴平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小为45°.高考调研第22页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第23页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型一异面直线所成角例1(2015·郑州质检)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.1010B.3010C.21510D.31010高考调研第24页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．BC1→＝(－1,0,2)，AE→＝(－1,2,1)，cos〈BC1→，AE→〉＝BC1→·AE→|BC1→|·|AE→|＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.【答案】B高考调研第25页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．高考调研第26页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()思考题1A.1010B.15C.31010D.35高考调研第27页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)．∴BE→＝(0，－1,1)，CD1→＝(0，－1,2)．∴cos〈BE→，CD1→〉＝1＋22·5＝31010.【答案】C高考调研第28页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．题型二线面角高考调研第29页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.高考调研第30页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)方法一：由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，则M是PD的中点．在Rt△PAD中，得AM＝2.在Rt△CDM中，得MC＝MD2＋DC2＝3.∴MC2＋AM2＝AC2＝5，即△AMC为直角三角形．∴S△ACM＝12AM·MC＝62.高考调研第31页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习设点D到平面ACM的距离为h，由VD－ACM＝VM－ACD，得13S△ACM·h＝13S△ACD·12PA，解得h＝63.设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sinθ＝hCD＝63，∴cosθ＝33.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.高考调研第32页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)．高考调研第33页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习∴AC→＝(1,2,0)，AM→＝(0,1,1)，CD→＝(－1,0,0)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥AC→，n⊥AM→，可得x＋2y＝0，y＋z＝0.令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．高考调研第34页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sinα＝|CD→·n||CD→|·|n|＝63.∴cosα＝33.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.【答案】(1)略(2)33高考调研第35页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误．高考调研第36页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2014·北京理)如图所示，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．思考题2高考调研第37页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.高考调研第38页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥