教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第二节

高考调研第1页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第八章立体几何高考调研第2页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第2课时空间几何体的表面积、体积高考调研第3页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正确描述现实生活中简单物体的结构．2．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要求记忆台体的体积公式)请注意柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是高考热点．高考调研第4页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第5页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是___________、______、_______．(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝，S锥＝.矩形扇形扇环2πr2＋2πrlπr2＋πrl高考调研第7页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝.(5)球的表面积为.π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l4πR2高考调研第8页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．几何体的体积(1)V柱体＝.(2)V锥体＝.(3)V台体＝，V圆台＝，V球＝(球半径是R)．Sh13Sh13(S′＋SS′＋S)h13π(r21＋r1r2＋r22)h43πR3高考调研第9页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π答案C解析设正方体的棱长为a，则a3＝8.而此内切球直径为2，∴S表＝4πr2＝4π.高考调研第10页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．(2015·沧州七校联考)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()高考调研第11页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案AA.283πB.163πC.43π＋8D．12π解析由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，分别计算其体积，相加得π×22×2＋43π＝283π.高考调研第12页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为________．答案3π解析已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公式可求．如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a2＝4，∴a＝2.∴圆锥的全面积为S＝π(a2)2＋π·a2·a＝3π.高考调研第13页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案124．(2014·山东文)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则13×6×34×22×h＝23，解得h＝1，底面正六边形的中点到其边的距离为3，故侧面等腰三角形底边上的高为3＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.高考调研第14页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1S2＝94，则V1V2的值是________．答案32高考调研第15页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r2，母线长分别是l1，l2.则由S1S2＝94，可得r1r2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr1l1＝2πr2l2，则l1l2＝r2r1＝23，所以V1V2＝S1l1S2l2＝94×23＝32.高考调研第16页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第17页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例1(1)(2014·安徽文)若一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()题型一多面体的表面积和体积高考调研第18页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习A.233B.476C．6D．7【解析】画出几何体的直观图，根据直观图及体积公式求解．由三视图知，几何体的直观图如图所示．该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.【答案】A高考调研第19页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)(2015·合肥质检)下图是一个几何体的三视图，根据图中所给的数据，求这个几何体的表面积和体积．高考调研第20页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】右图是还原后的几何体的直观图，分别取BC，AD的中点E，F，连接SE，EF，SF，由图中数据有AB＝BC＝CD＝DA＝SE＝EF＝2，BE＝EC＝1，∵△SBC是等腰三角形，∴SB＝SC＝5.高考调研第21页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习又∵△SAD是等腰三角形，∴SF⊥AD.∴SF＝22.∴S▱ABCD＝4，S△SBC＝2，S△SAB＝S△SCD＝5，S△SAD＝22.∴SS－ABCD＝6＋2(2＋5)．∴VS－ABCD＝13·SABCD·SE＝83.【答案】6＋2(2＋5)，83高考调研第22页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．高考调研第23页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)(2014·重庆理)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54B．60C．66D．72思考题1高考调研第24页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】题中的几何体可看作是从直三棱柱ABC－A1B1C1中截去三棱锥E－A1B1C1后所剩余的部分(如图所示)，其中在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝4.AC＝3，则BC＝5，高考调研第25页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习△ABC的面积等于12×3×4＝6.AA1⊥平面ABC，则直角梯形ABEA1的面积等于12×(2＋5)×4＝14，矩形ACC1A1的面积等于3×5＝15.过点E作EF⊥AA1于点F，则EF＝AB＝4，A1F＝B1E＝BB1－BE＝3，则A1E＝5，所以△A1C1E的面积等于12×3×5＝152，直角梯形BCC1E的面积等于12×(2＋5)×5＝352，因此题中的几何体的表面积为6＋14＋15＋152＋352＝60，选B.【答案】B高考调研第26页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)(2015·辽宁抚顺六校联考)若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为()A.13B.3C．1D.33高考调研第27页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】原几何体为三棱锥，如图所示．其中平面PBC⊥底面ABC，PD＝3，BC＝2，AD＝1，所以V＝13×12×2×1×3＝33.【答案】D高考调研第28页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2如图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积．题型二旋转体的表面积和体积高考调研第29页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】AB＝4，R＝2，S球＝4πR2＝16π.设DC＝x，则AC＝2x，BC＝xsin60°＝23x3.在Rt△ABC中，4x2＋4×3x29＝16，x＝3，S锥侧上＝πrl＝π·3·23＝6π，高考调研第30页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习S锥侧下＝πrl＝π·3·2＝23π，S表＝12(S球＋S锥侧上＋S锥侧下)＝(11＋3)π.∴V＝12(V球－V锥上－V锥下)＝1243πR3－13πCD2AD＋BD＝103π.【答案】S表＝(11＋3)π，V＝103π高考调研第31页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高等)，然后代入公式计算即可．高考调研第32页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)(2014·天津)若一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.思考题2高考调研第33页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】根据三视图还原出几何体，利用圆柱和圆锥的体积公式求解．根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4m，高为2m的圆锥，下部是一个底面直径为2m，高为4m的圆柱．故该几何体的体积V＝13π×22×2＋π×12×4＝203πm3.【答案】203π高考调研第34页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．高考调研第35页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】16π【解析】由三视图，可知该几何体是一个球体挖去14之后剩余的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的34与两个半圆面的面积之和，即S＝34×(4π×22)＋2×(12π×22)＝16π.高考调研第36页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型三利用割补法求体积例3(1)如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1而截得的，已知AA1＝CC1，截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为()A.22B.33C.24D.2高考调研第37页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】以正方形ABCD为底面，DD1为棱将上图补成一个正四棱柱ABCD－A2B1C2D1，如图所示．∵截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半．∵AA1＝CC1，易知∠D1BD为截面与底面ABCD所成的二面角的平面角．∴∠D1BD＝45°.高考调研第38页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习∵AB＝1，∴BD＝2，DD1＝2.∴正四棱柱ABCD－A2B1C2D1的体积V＝1×2＝2.∴所求多面体的体积为22.【答案】A高考调研第39页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．【解析】因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝a2＋a22＝52a，所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连接EF，则△EFB≌△EFD1.由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝2·13·S△EBA1·a＝16a3.高考调研第40页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【讲评】利用等积变换是求三棱锥体积的常用技巧．【答案】16a3高考调研第41页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究3(1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积．(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算．(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解．高考调研第42页第八章立体几何新课标版·数学（