教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何第11节

高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第九章解析几何高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第11课时直线与圆锥曲线的位置关系高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习理解数形结合思想，能通过直线与圆锥曲线(重点是与椭圆抛物线)的位置关系解答相应问题．请注意此部分是高考中的重点和难点，多与数形结合，设而不求等方面结合，应引起足够重视．高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC.若Δ0，则直线与圆锥曲线没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线有且只有一个公共点；若Δ0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点．高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2.再利用根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．用点差法求直线方程在给出的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0.两式相减，结合x1＋x2＝2m，y1＋y2＝2n，可求出kAB＝y2－y1x2－x1从而由点斜式写出直线AB的方程．这种方法我们称为点差法．高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式．(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．重点辨析(1)如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情况，为了避免讨论，过焦点F(c,0)的直线可设为x＝my＋c.(2)解方程组Ax＋By＋C＝0，fx，y＝0时，若消去y，得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，这时，要考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用点差法(平方差法)找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．(4)有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件．①两点连线与该直线垂直(斜率互为负倒数)；②中点在此直线上(中点坐标适合对称轴方程)．高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．若过原点的直线l与双曲线x24－y23＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－32，32B．(－32，32)C.－32，32D.－∞，－32∪32，＋∞高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案B解析∵x24－y23＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－32，k2＝32，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是0，32∪－32，0.高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是()A.43B.75C.85D．3高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案A解析设直线4x＋3y＋m＝0与y＝－x2相切，则联立两方程3x2－4x－m＝0.令Δ＝0，有m＝－43.∴两直线间距离为|－8－－43|42＋32＝43.高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．直线y＝x与抛物线y2＝4x交于A，B两点，P为抛物线上的点，使△ABP的面积等于2的点P有()A．1个B．2个C．3个D．4个高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案C解析由条件知A(0,0)，B(4,4)，|AB|＝42，设P到直线y＝x的距离为d，则d＝2×2|AB|＝22.设P(y24，y)，则|y24－y|2＝22.解得y1＝2，y2＝2＋22，y3＝2－22.故这样的点P有3个，故选C.高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．答案16解析直线l的方程为y＝3x＋1，由y＝3x＋1，x2＝4y，得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14.∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则实数a的取值范围是________．答案(34，＋∞)解析设抛物线上的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x＋b，代入抛物线方程y＝ax2－1，得ax2－x－(b＋1)＝0.设直线AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝12a，y0＝x0＋b＝12a＋b.由于M(x0，y0)在直线x＋y＝0上，故x0＋y0＝0，由此解得b＝－1a，此时ax2－x－(b＋1)＝0可变形为ax2－x－(－1a＋1)＝0，由Δ＝1＋4a(－1a＋1)0，解得a34.高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(2015·山东威海一模)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知AB→＝613BC→.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)∵A(－a,0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)．令x＝0，则y＝2a，∴C(0,2a)．∴AB→＝(x1＋a，y1)，BC→＝(－x1,2a－y1)．∵AB→＝613BC→，∴x1＋a＝613(－x1)，y1＝613(2a－y1)．整理，得x1＝－1319a，y1＝1219a.∵B点在椭圆上，∴(1319)2＋(1219)2·a2b2＝1.高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习∴b2a2＝34，∴a2－c2a2＝34，即1－e2＝34，∴e＝12.(2)∵b2a2＝34，可设b2＝3t，a2＝4t(t0)，∴椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0.由3x2＋4y2－12t＝0，y＝kx＋m，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0.高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0，整理，得m2＝3t＋4k2t.设P(x1，y1)，则有x1＝－8km23＋4k2＝－4km3＋4k2，y1＝kx1＋m＝3m3＋4k2，∴P(－4km3＋4k2，3m3＋4k2)．高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习又M(1,0)，Q(4,4k＋m)，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，∴(1＋4km3＋4k2，－3m3＋4k2)·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立．整理，得3＋4k2＝m2，∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立．故t＝1，所求椭圆方程为x24＋y23＝1.【答案】(1)e＝12(2)x24＋y23＝1高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1椭圆是近年圆锥曲线中命题频率比较高的曲线，其命题形式一般都涉及到直线与椭圆的位置关系，求解时一般都会利用到一元二次方程的根与系数之间的关系，因此处理二次方程的能力与技巧是解此类题的关键所在．本例题就是直线与椭圆与向量结合的题目，解法灵活多变，但实质是相同的．高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求实数b的值．高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1.化简，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|.即43＝2|x2－x1|.则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b22，解得b＝22.【答案】(1)43(2)22高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型二对称问题例2试确定m的取值范围，使得椭圆x24＋y23＝1上有不同两点关于直线y＝4x＋m对称．【解析】方法一：设椭圆上两点A(x0－u，y0－v)，B(x0＋u，y0＋v)，AB的中点为C(x0，y0)．∵A，B关于y＝4x＋m对称，∴kAB＝vu＝－14.高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习又x0－u24＋y0－v23＝1，x0＋u24＋y0＋v23＝1，两式相减，得vu＝－3x04y0，∴y0＝3x0.而点C在直线y＝4x＋m上，∴x0＝－m，y0＝－3m.∵点C在椭圆x24＋y23＝1内，∴－m24＋－3m231.∴m∈－21313，21313.高考调研第32页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝4x＋m对称．设AB的中点为P(x0，y0)，则y1－y2x1－x2＝－14