教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第六节

高考调研第1页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第八章立体几何高考调研第2页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第6课时空间向量及运算高考调研第3页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解空间向量的概念．了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直．高考调研第4页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习请注意纵观近几年的高考试题，对空间向量部分的考查主要集中于空间向量的概念和运算的考查，部分用空间向量知识来解的题目也可以不建空间直角坐标系，而直接使用线性运算，充分发挥空间向量基本定理的作用．总体来看，高考对空间向量更多地考查其工具性作用．高考调研第5页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔题组层级快练高考调研第6页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．把空间中具有和的量叫向量．2．(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使.大小方向存在实数λ，使a＝λbp＝xa＋yb高考调研第8页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝.3．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使.p＝xa＋yb＋zcxOA→＋yOB→＋zOC→高考调研第9页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积：．(2)向量的数量积的性质：①a·e＝；②a⊥b⇔；③|a|2＝.(3)向量的数量积满足如下运算律：①(λ·a)·b＝；②a·b＝(交换律)；③a·(b＋c)＝(分配律)．a·b＝|a||b|cosa，b|a|cosa，e，e为单位向量a·b＝0a·aλ(a·b)b·aa·b＋a·c高考调研第10页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．空间向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝；②a－b＝；③a·b＝，特殊地a·a＝____________；(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23④a∥b⇔；a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或a1b1＝a2b2＝a3b3(b1·b2·b3≠0)高考调研第11页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习AB→＝OB→－OA→＝＝_______________________．⑤a⊥b⇔；⑥A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1)6．向量a与b的夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cosa，b＝.a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23高考调研第12页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习7．两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则|AB→|＝AB→·AB→＝.x2－x12＋y2－y12＋z2－z12高考调研第13页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．高考调研第14页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(6)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×高考调研第15页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A→，D1C→，A1C1→是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量答案C解析A1C1→＝AC→，又∵AC，D1A，D1C共面，∴AC→，D1A→，D1C→共面，即A1C1→，D1A→，D1C→共面．高考调研第16页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．在四面体O—ABC中，若OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________.(用a，b，c表示)答案12a＋14b＋14c高考调研第17页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析OE→＝OA→＋12AD→＝OA→＋12×12(AB→＋AC→)＝OA→＋14(OB→－OA→＋OC→－OA→)＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.高考调研第18页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为________．答案(5,13，－3)解析设D(x，y，z)，则AB→＝DC→.∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y，－5－z)．∴3－x＝－2，7－y＝－6，－5－z＝－2.解得x＝5，y＝13，z＝－3.∴D(5,13，－3)．高考调研第19页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.答案215解析∵15＋23＋λ＝1，∴λ＝215.高考调研第20页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第21页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：①AP→；②A1N→；③MP→＋NC1→.【思路】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可．高考调研第22页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】①∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.②∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.高考调研第23页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习③∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，高考调研第24页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习∴MP→＋NC1→＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.【答案】①a＋c＋12b②－a＋b＋12c③32a＋12b＋32c高考调研第25页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可．若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的．高考调研第26页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.高考调研第27页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.高考调研第28页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】MG→＝－16OA→＋13OB→＋13OC→OG→＝13OA→＋13OB→＋13OC→高考调研第29页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型二空间向量的共线、共面问题例2已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点．求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．高考调研第30页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】(1)在△ABD中，EH为△ABD的中位线，EH綊12BD，同理FG綊12BD.∴EH綊FG，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知，BD∥EH，又∵EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.高考调研第31页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)对于空间任一点O，有OA→＋OB→＝2OE→，OC→＋OD→＝2OG→.又2OE→＋2OG→＝2(OE→＋OG→)＝2·2OM→＝4OM→，∴OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【答案】(1)略(2)略(3)略高考调研第32页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→高考调研第33页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2(1)设空间四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则()A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P不一定在直线AB上D．以上都不对高考调研第34页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由题意知m＋n＝1，则m＝1－n.∴OP→＝(1－n)OA→＋nOB→，即OP→－OA→＝n(OB→－OA→)．∴AP→＝nAB→，即AP→∥AB→.又∵AP→与AB→有公共点A，∴A，B，P三点共线，即点P在直线AB上．【答案】A高考调研第35页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．①判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内．高考调研第36页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】①由已知得OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)．即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→.∴MA→，MB→，MC→三个向量共面．②由①知，MA→，MB→，MC→共面且过同一点M，∴四点M，A，B，C共面．从而点M在平面ABC内．【答案】①共面②点M在平面ABC内高考调研第37页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总