教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何第7节

高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第九章解析几何高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第7课时双曲线(一)高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程．2．掌握双曲线的几何性质．3．了解双曲线的一些实际应用．高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习请注意除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点．高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔题组层级快练高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值______________________的点的轨迹叫做双曲线．等于常数2a(2a|F1F2|)高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程－＝1(a0，b0)－＝1(a0，b0)图形高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)标准方程性质焦点___________________________________________焦距____________________________范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性___________________________顶点___________________________________轴__________________________离心率e＝(e1)渐近线±＝0(或y＝±x)±＝0(或y＝±x)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cc2＝a2＋b2关于x轴，y轴和原点对称(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)实轴长2a，虚轴长2b高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．归纳拓展(1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)共焦点的圆锥曲线方程为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λa2，且λ≠－b2)．(5)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与y2b2－x2a2＝1(a0，b0)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距．高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(6)双曲线形状与e的关系：k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与y2b2－x2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a＝()A．2B.62C.52D．1高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案D解析因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e2＝1＋3a2＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．(课本习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为________．答案(62，0)高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案24．(2015·长沙调研)设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．解析渐近线方程可化为y＝±32x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴9a2＝(±32)2，解得a＝±2.由题意知a0，∴a＝2.高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案85．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝________.解析依题意有3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2×1，解得|PF2|＝6，|PF1|＝8.高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案λ－2或λ－16．已知曲线方程x2λ＋2－y2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．解析∵方程x2λ＋2－y2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)0，解得λ－2或λ－1.高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习7．设双曲线C经过点(2,2)，且与y24－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．答案x23－y212＝1，y＝±2x解析待定系数法求双曲线方程．设双曲线C的方程为y24－x2＝λ，将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C的方程为x23－y212＝1，其渐近线方程为y＝±2x.高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A．x＝0B.x22－y214＝1(x≥2)C.x22－y214＝1D.x22－y214＝1或x＝0高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】如图，动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都相外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2.高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】D故得|MC1|－|MC2|＝22；在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝22.由③④得|MC1|－|MC2|＝±22.根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为x22－y214＝1.由①②③④可知，选择D.高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14B.13C.24D.23高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】利用双曲线的性质及定义得△AF1F2的各边关系，再运用余弦定理求解．由e＝ca＝2，得c＝2a.如图，由双曲线的定义，得|F1A|－|F2A|＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a.∴cos∠AF2F1＝4a2＋2a2－4a22×4a×2a＝14.【答案】A高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由双曲线的定义知道|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为4a＝8.【答案】8思考题1(1)若过双曲线x24－y23＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sinB－sinC＝12sinA时，求点A的轨迹方程．【解析】设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sinB－sinC＝12sinA，得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R.高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．【答案】x24－y212＝1(x2)高考调研第32页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型二求双曲线的标准方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；(2)渐近线方程为y＝±12x，焦距为10；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．高考调研第33页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将(2,2)代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12.∴所求双曲线方程为y23－x212＝1.(2)设所求双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，当λ0时，双曲线标准方程为x24λ－y2λ＝1，∴c＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；高考调研第34页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习当λ0时，双曲线标准方程为y2－λ－x2－4λ＝1，∴c＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(mn0)∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解之得m＝－175，n＝－125.∴双曲线方程为y225－x275＝1.高考调研第35页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(4)依题意，e＝2⇒a＝b.设方程为x2a－y2a＝1，则16a－10a＝1，解得a＝6.∴x26－y26＝1.【答案】(1)y23－x212＝1(2)x220－y25＝1或y25－x220＝1(3)y225－x275＝1(4)x26－y26＝1高考调研第36页第九章