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高考调研第1页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率第十章计数原理和概率高考调研第2页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率第1课时两个计数原理高考调研第3页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．请注意两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，在本章中占有十分重要的地位．因此它是高考中必考的一个知识点．高考调研第4页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率课前自助餐高考调研第6页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．分类计数原理的推广完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的办法，那么完成这件事共有N＝_____________种不同的方法．m1＋m2＋…＋mn高考调研第7页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率2．分步计数原理的推广完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．m1×m2×…×mn高考调研第8页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为()A．6B．23C．42D．44答案B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为23＝8.高考调研第9页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率2．已知{1,2}⊆X⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有()A．2个B．6个C．4个D．8个答案D解析由题意知集合X中的元素1,2必取，另外，从3,4,5中可以不取，取1个，取2个，取3个．故有C03＋C13＋C23＋C33＝8.高考调研第10页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率3．若集合P＝{1,2,3}，Q＝{2,3,4,5}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则集合P※Q中元素的个数为()A．4B．6C．12D．20答案C解析确定集合P※Q中元素(a，b)需要分两步：第一步：确定a，有3种不同方法；第二步：确定b，有4种不同方法．由分步计数原理可知元素个数有3×4＝12(个)．∴选C高考调研第11页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率4．(2015·衡水调研卷)为了应对乌克兰危机，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．答案182解析甲、乙中裁一人的方案有C12C38种，甲、乙都不裁的方案有C48种，故不同的裁员方案共有C12C38＋C48＝182种．高考调研第12页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率5．(2015·上海普陀区期末)2015年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为________．答案168解析分步考虑：从8所高校中选2所，有C28种选法；依题意必有2位同学被同一所学校录取，则有C23C12种录取方法；另一位同学被剩余的一所学校录取．所以共有C28·C23·C12＝168种录取方法．高考调研第13页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率授人以渔高考调研第14页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例1(1)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解析】方法一按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．题型一两个计数原理高考调研第15页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率方法二按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．【答案】36高考调研第16页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)已知a∈{－1,2,3}，b∈{0,1,3,4}，r∈{1,2}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2所表示的不同的圆的个数有________．【解析】∵a∈{－1,2,3}，∴a有3种方法，同理b的取法有4种，r有2种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，∴共有3×4×2＝24个不同的圆．【答案】24高考调研第17页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究1利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定．如(1)题中完成这件事分4类即可；(2)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终．高考调研第18页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(1)设x，y∈N*，直角坐标平面中的点为P(x，y)．①若x＋y≤6，这样的P点有________个．②若1≤x≤4,1≤y≤5，这样的P点又有________个．【解析】①当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，不同P点共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．②x有1,2,3,4这4个不同值，而y有1,2,3,4,5这5个不同值，共有不同P点4×5＝20(个)．【答案】①15②20思考题1高考调研第19页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，b∈M，P可以表示①平面上多少个不同的点？②第二象限内的多少个点？③不在直线y＝x上的多少个点？【思路】要确定平面上点的坐标，需确定横纵坐标，可分两步完成，需用分步计数原理．高考调研第20页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】①分两步：第一步，确定横坐标6种方法，第二步确定纵坐标有6种方法，根据分步计数原理得N＝6×6＝36.②分两步；第一步确定横坐标(小于0)有3种方法；第二步确定纵坐标(大于0)有2种方法，根据分步计数原理得N＝3×2＝6.③分两步：第一步确定横坐标有6种方法；第二步确定纵坐标有5种方法．根据分步计数原理得N＝6×5＝30.【答案】①36②6③30高考调研第21页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例2(1)春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．【答案】45高考调研第22页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)5名旅客投宿到一个旅店的3个房间，问共有多少种不同的住店方法？【解析】①安排第1名旅客有3个房间(3种方法)．②安排第2名旅客也有3个房间(3种方法)，…….∴共有3×3×3×3×3＝35(种)不同的住店方法．【答案】35高考调研第23页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究2解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么？怎样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：住店法．高考调研第24页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(1)三封信投入到4个不同的信箱中，共有________种不同的投法．【解析】方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完成，故分三步：第一步，将第一封信投进信箱，有4种方法．第二步，将第二封信投进信箱，有4种方法．第三步，将第三封信投进信箱，有4种方法．由分步计数原理得共有4×4×4＝64种不同投法．方法二：本题相当于3个人住4间店．【答案】64思考题2高考调研第25页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？【解析】方法一：因为3只羊都被吃掉，故应分为三步，逐一考虑．每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4×4×4＝43＝64种．方法二：本题相当于3个人住4间店．【答案】64高考调研第26页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例3(1)(2013·山东理)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【解析】由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.【答案】B题型二两个原理的应用高考调研第27页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【解析】解题的步骤为：先选人，再打包，再分天．结果为C67C36C33＝140.【答案】140高考调研第28页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究3在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法可能会采取分类的思想求．另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定．解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．高考调研第29页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(1)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种思考题3高考调研第30页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】方法一：分两种情况：①2门A,1门B，有C23C14＝12种选法；②1门A,2门B有C13C24＝3×6＝18种，∴共有12＋18＝30种选法．方法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A，B各至少选1门，有C37－C33－C34＝35－1－4＝30种选法．故选A.【答案】A高考调研第31页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)若将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【解析】由分步乘法计数原理，先排第一列，有A33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A33×2＝12种排列方法，选A.【答案】A高考调研第32页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例4如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．高考调研第33页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】方法一：区域1有C14种着色方法；区域2有C13种着色方法；区域3有C12种着色方法；区域4,5有3种着色方法(4与2同色有2种，4与2不同色有1种)．∴共有4×3×2×3＝72种不同着色方法．高考调研第34页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要有敏锐的观察力．本题能较深刻地测试逻辑思维能力．