教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何第8节

高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第九章解析几何高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第8课时双曲线(二)高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．掌握双曲线的几何性质．2．了解直线与双曲线的位置关系．请注意以曲线为载体考查圆锥曲线的处理思想、方法、规律，也是高考命题的特点，此部分多以选择、填空题形式考查．高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔题组层级快练高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习直线与双曲线的位置关系联立x2a2－y2b2＝1，y＝kx＋m，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.①相切：b2－a2k2≠0，Δ＝0.②相交：b2－a2k2≠0，Δ0.③相离：b2－a2k2≠0，Δ0.高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，求k的取值范围()A．1k52B．－52k52C．－52k－1D．－52k1高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案A解析联立消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，此方程有两个不等的正根，则有4k2＋201－k20，－2k1－k20，－51－k20，即－52k52，k1或－1k0，k1或k－1，所以1k52.故选A.高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝kx(k0)，离心率为e＝5k，则双曲线方程为()A.x2a2－y24a2＝1B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1D.x25b2－y2b2＝1答案C解析由已知k＝ba，e＝5k，得c＝5b，所以a＝2b.高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．过双曲线x2－y2＝4上任一点M(x0，y0)作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N，O是坐标原点，则△MON的面积是()A．1B．2C．4D．不确定答案A解析渐近线方程y＝±x，d1d2＝|x0－y0|2·|x0＋y0|2＝|x20－y20|2＝2，注意两条渐近线垂直，所以S＝1.高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案B4．若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为2，则a＋b的值为()A．－12B.12C．－2D.2解析由点到直线的距离为|a－b|2＝2，点在双曲线右支上，则a2－b2＝1，且(a，b)在x－y＝0下方，∴a－b0.于是上式相除得到a＋b＝12.高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB→＝12BC→，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.5D.10高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案C解析对于A(a,0)，则直线方程为x＋y－a＝0，直线与两渐近线的交点为B，C，B(a2a＋b，aba＋b)，C(a2a－b，－aba－b)，则有BC→＝(2a2ba2－b2，－2a2ba2－b2)，AB→＝(－aba＋b，aba＋b)，∵2AB→＝BC→，∴4a2＝b2，∴e＝5.高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型一直线与双曲线的位置关系例1已知双曲线C：x23－y2＝1.(1)若l1：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N都在以A(0，－1)为圆心的圆上，求实数m的取值范围；(2)若将(1)中的“双曲线C”改为“双曲线C的右支”，其余条件不变，求m的取值范围．高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y＝kx＋m，x2－3y2＝3，消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3(1＋m2)＝0.∵l1与C有两个交点，∴1－3k2≠0，Δ＝12·1＋m2－3k20.①∵x1＋x2＝6mk1－3k2，x1x2＝－3m2＋11－3k2，高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习设MN的中点为G(x0，y0)，则x0＝3km1－3k2，y0＝m1－3k2.∵AG⊥MN，∴1＋m－3k23km·k＝－1.∴3k2＝4m＋1.②由①②式，得－14m0或m4.高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)∵l1与双曲线右支有两个不同的交点，∴6mk1－3k20，③－3m2＋11－3k20.④由①②③④式，得m＞4.【答案】(1)－14m0或m4(2)m＞4高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)①本题中第一问由于直线与双曲线有两交点，因而用判别式Δ求范围；②由于直线与双曲线右支有两个不同交点，因而除Δ判别式外，还要限制x1＋x20，x1x20.(2)凡是涉及到直线与圆锥曲线的公共点，一般要由判别式得不等关系，并且应注意判别式的适用范围，若圆锥曲线不完整时，应加强限制．高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】根据题意可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程，得x2－(kx＋2)2＝2，即(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C相交于不同两点E，F，思考题1过点(0,2)的直线l与双曲线x2－y2＝2相交于不同两点E，F，若△OEF的面积不小于22，求直线l的斜率的取值范围．高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习则1－k2≠0，Δ＝－4k2＋4×61－k20，即k≠±1，－3k3.设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝4k1－k2，x1x2＝－61－k2.所以|EF|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·223－k2|1－k2|.又原点O到直线l的距离d＝21＋k2，高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习所以S△OEF＝12d·|EF|＝12·21＋k2·1＋k2·223－k2|1－k2|＝223－k2|1－k2|.因为S△OEF≥22，则223－k2|1－k2|≥22⇔k4－k2－2≤0，解得－2≤k≤2.综上可得，直线l的斜率的取值范围是[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．【答案】[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【思路】对于“中点弦”问题，往往采用“设而不求”的策略．题型二弦中点、中点弦问题高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)设以A(2,1)为中点的弦两端点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又据对称性知x1≠x2，所以y1－y2x1－x2是中点弦P1P2所在直线的斜率，因此不必求出点P1，P2的坐标，只要确定比值y1－y2x1－x2，问题就可解决．由P1，P2在双曲线上，则有2x21－y21＝2,2x22－y22＝2.两式相减，得高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.∴＝4.所求中点弦所在直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.严格地讲，求出的这个直线方程只是满足了必要性，因为是我们假定过A点的直线与双曲线交于P1(x1，y1)与P2(x2，y2)两点，因此还必须验证充分性，即所求直线确定与双曲线有两个交点．为此只要将直线方程与双曲线方程联立消y(或x)，得Δ0就可断言充分性成立．事实上，从2·22－12＝72，也可判定A(2,1)在双曲线内部(即含焦点的区域)．高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)4x－y－7＝0(2)不存在(2)可假定直线l存在，采用(1)的方法求出l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立方程组2x2－y2＝2，2x－y－1＝0，消y，得2x2－4x＋3＝0.∵Δ＝(－4)2－4·2·3＝－80，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式子中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2已知双曲线x2－y23＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x21－y213＝1，①x22－y223＝1，②x1＋x2＝2x0，③y1＋y2＝2y0，④高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝13(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝3，即kMN·y0x0＝3.∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.又∵y0＝x0＋m，∴P(－m4，3m4)，代入抛物线方程，得916m2＝18·(－m4)．解得m＝0或－8，经检验都符合．【答案】0或－8高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型三双曲线中最值、范围问题例3(2014·江西理)如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a＞0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．高考调研第32页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．高考调研第33页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【思路】(1)结合双曲线的几何性质，利用方程思想求解；(2)先确定直线方程并求解相应的交点坐标，再代入化简求值．【解析】(1)设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1.直线OB方程为y＝－1ax，直线BF的方程为y＝1a(x－c)，高考调研第34页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习解得B(c2，－c2a)．又直线