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第八章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β答案D解析由题意可得A，B，C选项显然正确，对于选项D：当α，β相交，且a与α，β的交线平行时，有a∥α，a∥β，但此时α与β不平行．故选D.2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行答案D解析连接C1D，BD.∵N是D1C的中点，∴N是C1D的中点，∴MN∥BD.又∵CC1⊥BD，∴CC1⊥MN，故A，C正确．∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正确，故选D.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.8π3B.82π3C．82πD.32π3答案B解析S圆＝πr2＝1⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离d＝1，∴球的半径为R＝r2＋d2＝2.∴V＝43πR3＝82π3，故选B.4．某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．22C.203D．8答案D解析由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD＝3，BF＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为12×2×2×4＝8.5.如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析连接AC，BD交于点O，连接OE，易得OE∥PA.∴所求角为∠BEO.由所给条件易得OB＝62，OE＝12PA＝22，BE＝2.∴cos∠OEB＝12，∴∠OEB＝60°，选C.6．直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是()A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的表面积为43π答案D解析由三视图可知，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C.∴BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面BDC1.故B正确．V＝S△ABC×C1C＝12×2×2×2＝4，∴C正确．此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D错误．故选D.7．在平面四边形ABCD中，AD＝AB＝2，CD＝CB＝5，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为()A．1B.12C.33D.3答案C解析如图所示，OA＝1，OC＝2.当A′C与圆相切时，直线A′C与平面BCD所成的角最大，最大角为30°，其正切值为33.故选C.8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A.5＋33π2＋3π2＋1B．25＋33π＋3π2＋1C.5＋33π2＋3π2D.5＋33π2＋π2＋1答案A解析还原为直观图如图所示，圆锥的高为2，底面半径为2，圆锥的母线长为6，故该几何体的表面积为S＝12×2×5＋12×2π×2×34×6＋π×(2)2×34＋12×2×1＝5＋33π2＋3π2＋1.9．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°答案C解析由条件，知CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝(217)2.∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，〈CA→，BD→〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.10．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是()A．288＋36πB．60πC．288＋72πD．288＋18π答案A解析将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据，可得V长方体＝6×8×6＝288，V半圆柱＝12×32×π×8＝36π.∴此几何体的体积为V＝288＋36π.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝14BC，则GB与EF所成的角为()A．30°B．120°C．60°D．90°答案D解析方法一：连D1E，D1F，解三角形D1EF即可．方法二：如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件，得G(0,0，12)，B(1,1,0)，E(1,1，12)，F(34，1,0)，GB→＝(1,1，－12)，EF→＝(－14，0，－12)．cos〈GB→，EF→〉＝GB→·EF→|GB→||EF→|＝0，则GB→⊥EF→.故选D.12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为()A.124B.118C.19D.112答案B解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设BP→＝λBD1→，可得P(λ，λ，λ)，再由cos∠APC＝AP→·CP→|AP→||CP→|可求得当λ＝13时，∠APC最大，故VP－ABC＝13×12×1×1×13＝118.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知四个命题：①若直线l∥平面α，则直线l的垂线必平行于平面α；②若直线l与平面α相交，则有且只有一个平面经过直线l与平面α垂直；③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；④若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体．其中正确的命题是________．答案④解析④正确，如右图，A1C与B1D互相平分，则四边形A1B1CD是平行四边形，同理四边形ABC1D1是平行四边形，则A1B1綊AB綊CD，因此四边形ABCD是平行四边形，进而可得这个四棱柱为平行六面体．14．(2013·江苏)如图所示，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.答案1∶24解析由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝13AF·S△AED2AF·S△ABC＝1∶24.15．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．答案33解析正三棱锥P－ABC可看作由正方体PADC－BEFG截得，如图所示，PF为三棱锥P－ABC的外接球的直径，且PF⊥平面ABC.设正方体棱长为a，则3a2＝12，a＝2，AB＝AC＝BC＝22.S△ABC＝12×22×22×32＝23.由VP－ABC＝VB－PAC，得13·h·S△ABC＝13×12×2×2×2，所以h＝233，因此球心到平面ABC的距离为33.16.如图所示是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有______个．答案2解析将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．答案(1)略(2)2解析(1)该组合体的三视图如右图所示．(2)因为PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，所以平面PDCE⊥平面ABCD.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，且BC＝DC＝AD＝2.又因为平面PDCE∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDCE.因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC.又因为EC∥PD，PD＝2，EC＝1，所以四边形PDCE为一个直角梯形，其面积S梯形PDCE＝12(PD＋EC)×DC＝12×3×2＝3.所以四棱锥B－CEPD的体积VB－CEPD＝13S梯形PDCE×BC＝13×3×2＝2.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．答案(1)略(2)略(3)455解析(1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝12PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52.从而AN＝12DO＝54.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PCD.(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求AE的长；(3)求二面角E－PC－A的正弦值．答案(1)略(2)3625(3)3210解析(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AG.又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD.作EF⊥PC于点F，连接GF，∵平面PEC⊥平面PCD，∴EF⊥平面PCD.∴EF∥AG.又AG⊄平面PEC，EF⊂平面PEC，∴AG∥平面PEC.(2)解：由(1)知A，E，F，