教辅：高考数学之2021高考仿真模拟卷1

2021高考仿真模拟卷(一)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝()A．{1,2,3}B．{0,1,3}C．{0,1,2,3}D．{1,2,3,4}答案A解析因为A∩B＝{2}，所以2∈A，所以2a＝2，解得a＝1，故b＝2，所以A＝{3,2}，B＝{1,2},所以A∪B＝{1,2,3}．2．(2020·山东济宁邹城市第一中学高三五模)已知复数z＝a2i－2a－i是正实数，则实数a的值为()A．0B．1C．－1D．±1答案C解析因为z＝a2i－2a－i＝－2a＋(a2－1)i为正实数，所以－2a0且a2－1＝0，解得a＝－1.故选C.3．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析求解二次不等式a2＞a可得a＞1或a＜0，据此可知，“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件．故选A.4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝()A．2B.7C.14D．28答案C解析∵2＋a5＝a6＋a3＝a5＋a4，解得a4＝2，∴S7＝7a1＋a72＝7a4＝14，故选C.5．(2020·山东泰安三模)函数f(x)＝x3cosx2＋sinx在[－π，π]上的图象大致为()答案A解析因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除B，D；由fπ3＝π33×32＋32，f2π3＝2π33×12＋32，可知f2π3fπ3，结合图象可知选A.6．(2020·山东济南高三上学期期末)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为()A．2B．3C．4D．6答案B解析因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以p2＋p2＝2，故p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的性质，得焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝x1＋x22＝62＝3.故选B.7．(2020·河南洛阳第三次统一考试)(2x＋1)x＋3x5的展开式中x3的系数为()A．180B．90C．20D．10答案A解析x＋3x5展开式的通项公式Tr＋1＝Cr53rx5－3r2，其各项次数依次为5，72，2，12，－1，－52，所以x3的系数是2x＋1的一次项系数2乘以x＋3x5展开式的x2的系数．由x＋3x5展开式的通项公式Tr＋1＝Cr53rx5－3r2知5－3r2＝2，解得r＝2，所以x3的系数为2×C2532＝180.故选A.8．(2020·山东烟台一模)已知函数f(x)＝ex－e－xex＋e－x，实数m，n满足不等式f(2m－n)＋f(2－n)＞0，则下列不等关系成立的是()A．m＋n＞1B．m＋n＜1C．m－n＞－1D．m－n＜－1答案C解析∵f(x)＝ex－e－xex＋e－x(x∈R)，∴f(－x)＝e－x－exe－x＋ex，∴f(x)＝－f(－x)，故f(x)为R上的奇函数．对f(x)求导，得f′(x)＝4ex＋e－x2＞0，∴f(x)在R上单调递增．∵f(2m－n)＋f(2－n)＞0，∴f(2m－n)＞－f(2－n)＝f(n－2)，∴2m－n＞n－2，即m－n＞－1，故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．(2020·山东枣庄二调)2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼状图(如图)，则下列说法正确的是()A．第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B．第一季度居民人均收入为4900元C．第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D．第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元答案ACD解析由饼状图可知第一季度衣着消费441元，占总体的9%，所以总支出为4419%＝4900元，那么居民人均每月消费支出为49003≈1633元，A正确；第一季度居民人均消费为4900元，不是收入，B错误；食品烟酒项目占31%，最多，C正确；第一季度居民在居住项目的人均消费支出为4900×21%＝1029元，D正确．故选ACD.10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)将函数y＝2cosx＋1图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，得到函数f(x)的图象，下列说法正确的是()A．点π6，0是函数f(x)图象的对称中心B．函数f(x)在0，5π12上单调递减C．函数f(x)的图象与函数g(x)＝2sin2x＋2π3＋1的图象相同D．若x1，x2是函数f(x)的零点，则x1－x2是π的整数倍答案BC解析将函数y＝2cosx＋1图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得到函数y＝2cos2x＋1的图象，再向左平移π12个单位，可得到函数f(x)＝2cos2x＋π6＋1的图象．令x＝π6，求得f(x)＝1，故A错误；若x∈0，5π12，则2x＋π6∈π6，π，故f(x)＝2cos2x＋π6＋1在0，5π12上单调递减，故B正确；因为f(x)＝2cos2x＋π6＋1＝2cos2x＋2π3－π2＋1＝2sin2x＋2π3＋1＝g(x)，所以函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相同，故C正确；令f(x)＝2cos2x＋π6＋1＝0，则cos2x＋π6＝－12，所以2x＋π6＝2kπ＋2π3(k∈Z)或2x＋π6＝2kπ＋4π3(k∈Z)，所以x＝kπ＋π4(k∈Z)或x＝kπ＋7π12(k∈Z)，不妨设x1＝7π12，x2＝π4，则x1－x2＝π3不是π的整数倍，故D错误．故选BC.11．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是()A．直线BM与平面ADD1A1平行B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形C．异面直线AD1与A1C1所成的角为π3D．|MB|＋|MD1|的最小值为5答案ACD解析如图所示，易知平面BCC1B1∥平面ADD1A1，又BM⊂平面BCC1B1，故直线BM与平面ADD1A1平行，A正确；平面BMD1截正方体所得的截面为BMD1N，为四边形，故B错误；连接BC1，A1B，易知AD1∥BC1，故异面直线AD1与A1C1所成的角为∠A1C1B，又A1B＝A1C1＝BC1，故∠A1C1B＝π3，故C正确；延长DC到B′使CB′＝1，易知BM＝B′M，故|MB|＋|MD1|≥D1B′＝5，当M为CC1的中点时等号成立，故D正确．故选ACD.12．(2020·山东济宁三模)已知直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝2B．ex1＋ex22eC．x1lnx2＋x2lnx10D．x1x2e2答案ABC解析函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，则函数y＝ex与y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，将y＝－x＋2与y＝x联立，得x＝1，y＝1，由直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，作出函数图象如图，则A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(1,1)，对于A，由x1＋x22＝1，解得x1＋x2＝2，故A正确；对于B，ex1＋ex2≥2ex1·ex2＝2ex1＋x2＝2e2＝2e，因为x1≠x2，即等号不成立，所以ex1＋ex22e，故B正确；对于C，将y＝－x＋2与y＝ex联立可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0，设f(x)＝ex＋x－2，则函数为单调递增函数，因为f(0)＝1＋0－2＝－10，f12＝e12＋12－2＝e12－320，故函数f(x)的零点在0，12上，即0x112，由x1＋x2＝2，得32x22，所以x1lnx2＋x2lnx1＝x1lnx2－x2ln1x1x1lnx2－x2lnx2＝(x1－x2)lnx20，故C正确；对于D，将y＝－x＋2与y＝lnx联立可得－x＋2＝lnx，即2－x－lnx＝0.令g(x)＝2－x－lnx，则g(x)为单调递减函数，且g(1)＝10，g(e)＝2－e－12＝32－e0，则1x2e.又x1x2＝(2－x2)x2＝x2lnx2，设h(x)＝xlnx，x∈(1，e)，则h′(x)＝lnx＋10，即h(x)＝xlnx在(1，e)上单调递增，故x1x2＝x2lnx2elne＝e2，故D错误．故选ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2020·山东德州二模)已知双曲线C过点(23，－1)，且与双曲线x212－y26＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．答案x210－y25＝1解析由题意设所求双曲线方程为x212－y26＝k，因为双曲线过点(23，－1)，所以1212－16＝k，k＝56，所以双曲线方程为x212－y26＝56，即x210－y25＝1.14．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)＝1p，当x＝qpp，q为整数，qp为既约真分数，0，当x＝0，1或[0，1]上的无理数.若f(x)是定义在R上且最小正周期为1的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f173＋f(lg20)＝________.答案13解析由函数f(x)的最小正周期为1可得，f173＋f(lg20)＝f5＋23＋f(lg2＋1)＝f23＋f(lg2)＝13＋0＝13.15．(2020·山东滨州三模)已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，PA⊥平面ABC，PA＝2BC＝6，AB⊥AC，则球O的表面积为________．答案45π解析由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，而AB⊥AC，故可将三棱锥P－ABC补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥P－ABC的外接球，也即球O.由于PA＝2BC＝6，所以BC＝3，设AB＝a，AC＝b，则a2＋b2＝BC2＝9，所以长方体的对角线长为PA2＋AB2＋AC2＝36＋9＝45.设球O的半径为R，则2R＝45，所以球O的表面积为4πR2＝45π.16．如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A，B分别在y轴的非负半轴、x轴的非负半轴上移动，E为CD的中点，则OE→·OD→的最大值是________．答案5＋17解析根据题意，设∠OBA＝α，则A(0,2sinα)，B(2cosα，0)0≤απ2，根据正方形的特点，可以确定出C(2cosα＋2sinα，2cosα)，D(2sinα，2sinα＋2cosα)，根据中点坐标公式，可以求得E(cosα＋2sinα，sinα＋2cosα)，所以有OE→·OD→＝2sinα(cosα＋2sinα)＋(2sinα＋2cosα)(sinα＋2cosα)＝4＋8sinαcosα＋2sin2α＝5＋4sin2α－cos2α＝5＋17sin(2α－φ)，其中sinφ＝1717，cosφ＝41717，当2α－φ＝π2时，存在符合题意的角α，使sin(2α－φ)取得最大值1.所以其最