极值点偏移问题

..极值点偏移问题总结一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数)(xfy在区间),(ba内只有一个极值点0x，方程0)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21，（1）若0212xxx，则称函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x偏移；（2）若0212xxx，则函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x左偏，简称极值点0x左偏；（3）若0212xxx，则函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x右偏，简称极值点0x右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0x，方程0)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21，（1）若0)2('21xxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy在区间),(21xx上极大（小）值点0x右（左）偏；（2）0若0)2('21xxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy在区间),(21xx上极大（小）值点0x左（右）偏。证明：（1）因为可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0x，则函数)(xfy的单调递增（减）区间为),(0xa，单调递减（增）区间为),(0bx，又bxxa21，有),(221baxx由于0)2('21xxf，故),(2021xaxx，所以021)(2xxx，即函数极大（小）值点0x右（左）偏。判定定理2对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0x，方..程0)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21，（1）若)2()(201xxfxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy在区间),(21xx上极大（小）值点0x右（左）偏；（2）若)2()(201xxfxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy在区间),(21xx上极大（小）值点0x左（右）偏。证明：（1）因为对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0x，则函数)(xfy的单调递增（减）区间为),(0xa，单调递减（增）区间为),(0bx，又bxxa21，有01xx，且0202xxx，又)2()(201xxfxf，故2012)(xxx，所以021)(2xxx，即函数极大（小）值点0x右（左）偏.结论（2）证明略。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：（1）求出函数()fx的极值点；（2）构造一元差函数00()()()Fxfxxfxx（3）确定函数()Fx的单调性；（4）结合(0)0F，判断()Fx的符号，从而确定00(),()fxxfxx的大小关系。2.抽化模型答题模板：若已知函数()fx满足12()()fxfx，0x为()fx的极值点，求证：1202xxx（1）讨论函数()fx的单调性并求出()fx的极值点0x；假设此处()fx在0,x上单调递减，在0,x上单调递增。（2）构造00()()()Fxfxxfxx；..注：此处根据题意需要还可以构造成0()()(2)Fxfxfxx（3）通过求导'()Fx谈论()Fx的单调性，判断处()Fx在某段区间上的正负，并得出0()fxx与0()fxx的大小关系；假设此处()Fx在0,上单调递增，那么我们便可以得出00()(0)()()0FxFfxfx，从而得到：0xx时，00()()fxxfxx（4）不妨设102xxx，通过()fx的单调性，12()()fxfx，00()()fxxfxx与的大小关系得出结论；接上述情况：由于0xx时，00()()fxxfxx且102xxx，12()()fxfx故1202002002()()()(2)fxfxfxxxfxxxfxx，又因为10xx，0202xxx且()fx在0,x上单调递减，从而得到1022xxx，从而1202xxx得证；（5）若要证明12'()02xxf还需进一步讨论122xx与0x的大小，得出122xx所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为1202xxx故1202xxx，由于()fx在0,x上单调递减，故12'()02xxf说明：（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求()fx的单调性、极值点，证明00()()fxxfxx与或0()(2)fxfxx与的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如1202xxx或者1202xxx的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。三、例题(一)不含参数的的极值点偏移问题例1：（2010天津理21）已知函数()()xfxxexR..（1）求函数()fx的单调区间和极值；（2）若12xx，且12()()fxfx，求证：122xx解答：【法一】（1）'()1xfxxe，'()0,1fxx；,1增1,减极大值1(1)fe（2）11()(1)(1)11xxgxfxfxxexe，1(1)'()xxgxxee'()0,0gxx；,0减；0,增0x时，()(0)0gxg即(1)(1)fxfx12xx，不妨设12xx，由（1）知121,1xx，12222()()111(1)(2)fxfxfxfxfx221,21xx，()fx在,1上增，122xx，即122xx【法二】欲证122xx，即证212xx由法一知1201,1xx，故121x又因为()fx在1,上是单调递减的，只需证21()(2)fxfx,又因为12()()fxfx，故也即证11()(2)fxfx，构造函数()()(2)hxfxfx，0,1x由221'()'()'(2)1xxxhxfxfxee..()hx在0,1上单调递增，()(1)0hxh故原不等式122xx成立【法三】由12()()fxfx得，2112xxxexe，化简得2121xxxex①不妨设21xx，由法一知1201xx，令21txx，则0t，21xtx，代入①得：11ttxex，反解出：11ttxe，则121221ttxxxtte，故要证122xx即证221ttte，又因为10te，等价于证明：2210ttte②构造函数()2210tgtttet，则'()11tgtte，''()0tgtte，故'()0+gt在，上单调递增，'()'(0)0gtg从而()0+gt在，上单调递增，()(0)0gtg【法四】由12()()fxfx得，2112xxxexe，化简得2121xxxex①，两边同时取以e为底的对数：得221211lnlnlnxxxxxx，即2121lnln1xxxx，从而22112212121222121111+1lnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，令211xttx，则欲证122xx等价于证明1ln21ttt②，构造1ln2()1ln,111ttgttttt，则2212ln'()1tttgttt，又令2()12ln1httttt则'()22ln121lnhttttt，由于1lntt对1,t恒成立，故'()0ht，..()ht在1,上单调递增，()(1)0hth，'()0gt对1,t恒成立，()gt在1,上单调递增，()(1)gtg由洛必达法则知：11111ln'1ln1lim()limlimlimln211'tttttttttgttttt即()2gt，即证③式成立，也即原不等式成立例2：（2013湖南文21）21()1xxfxex，（1）求函数的单调区间；（2）证明：当1212()()()fxfxxx时，120xx(二)含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元1,2xx基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例1已知函数()xfxxae有两个不同的零点12,xx，求证：122xx例2.已知函数()lnfxxax，a为常数，若函数()fx有两个不同的零点12,xx，求..证：212xxe例3：已知12,xx是函数()xfxeax的两个零点，且12xx（1）求证：122xx（2）121xx例4：已知函数()(0)axfxxea，若存在12,xx（12xx），使12()()0,fxfx求证：12xaex变式训练：1.设函数()()xfxeaxaaR的图像与x轴交于1212,0,,0AxBxxx两点，（1）证明：12'()0fxx（2）求证：1212xxxx2.设函数2()lnfxaxbx，其图像在点2,(2)Pf处切线的斜率为3，当2a时，令()()gxfxkx，设12,xx（12xx）是方程()0gx的两个根，0x是12,xx的等差中项，求证：0'()0gx3.已知函数1()ln()fxaxaRx（1）若2a，求函数()fx在21,e上的零点个数；（2）若()fx有两零点12,xx（12xx），求证：112231axxe4.已知函数21()1ln2fxxaxax（1）讨论()fx的单调性；（2）设0a，证明：0xa时，()()faxfax(三)含对数式的极值点偏移问题根据12()()fxfx建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。..对数平均不等式的介绍与证明两个整数a和b的对数平均定义：lnln,abababLabaab，对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：,2ababLab例1：已知函数2()ln2fxxaxax（1）讨论()fx的单调性；（2）设0a，证明：当10xa时，11()()fxfxaa；（3）若函数()yfx的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0'()0fx(四)含指数式的极值点偏移问题2),(,)()(),(,2nmnmmnmnmeebaEenmenmnmeebaEebea不等式有如下关系：根据对数平均，则设在对数平均的定义中，指数不等式：例1（全国1卷2016理21）已知函数2()(2)(1)xfxxeax有两个零点12,xx，证明：122xx例2（天津2010理21）已知函数()()xfxxexR（1）求函数()fx的单调区间和极值；（2）若12xx，且12()()fxfx，求证：122xx例3.设函数()()xfxeaxaaR的图像与x轴交于1212,0,,0AxBxxx两点，证..明：12'()0fxx变式训练：已知函数2()()xfxaxeaR在0,上有两个零点1212,xxxx（1）求实数a的