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1平方差公式及其应用（含解析）一、单选题1.3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A.4B.5C.6D.82.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A.（x+a）（x﹣a）B.（﹣x﹣b）（x﹣b）C.（a+b）（﹣a﹣b）D.（b+m）（m﹣b）3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（x-y）（-x+y）B.（-x+y）（-x-y）C.（-x-y）（x-y）D.（x+y）（-x+y）4.下列各式能用平方差公式计算的是()A.(2a＋b)(2b－a)B.C.(a＋b)(a－2b)D.(2x－1)(－2x＋1)5.下列各式中能用平方差公式的是（）A.（2a﹣3）（﹣2a+3）B.（a+b）（﹣a﹣b）C.（3a+b）（b﹣3a）D.（a+1）（a﹣2）6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A.b-aB.a-bC.-a-2ab+bD.-a+2ab+b7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）2A.（2a-b）（-2a+b）B.（a-2b）（2a+b）C.（2a-b）（-2a-b）D.（-2a-b）（2a+b）8.下列能用平方差公式计算的是（）A.（﹣a+b）（a﹣b）B.（x+2）（2+x）C.D.（x﹣2）（x+1）9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A.2B.4C.±2D.±410.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（-a-1）（-a+1）B.（-a-1）（-a+1）C.（-a-1）（-a+1）D.（a-1）（-a-1）E.（a-1）（-a-1）11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A.（x+9）（x﹣9）B.（x+9）（﹣x﹣9）C.（﹣x+9）（﹣x﹣9）D.（﹣x﹣9）（x﹣9）12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A.[x﹣（2y+1）]2B.[x+（2y+1）]2C.[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣31）]D.[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A.（x﹣y）（﹣y﹣x）B.（x2﹣y2）（x2+y2）C.（a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）D.（﹣x+y）（x﹣y）14.下列运算结果错误的是（）A.（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2B.（a﹣b）2=a2﹣b2C.（x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D.（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣615.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是()A.y-xB.x-yC.x+yD.-x-y二、填空题16.分解因式：________·17.分解因式：________18.计算：（2m﹣n）（n+2m）=________．19.已知a2﹣b2=6，a﹣b=2，则a+b=________．20.若x2﹣y2=6，x+y=3，则x﹣y=________．21.计算：(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=________．22.分解因式：4m2﹣9n2=________．三、计算题23.计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3m+x2y2）．24.计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）4=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．26.计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2．（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3．（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4．（1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）=________；（2）根据你的猜想进行下列运算：（a）（1﹣2）（1+2+22+23+24）=________；（b）（x﹣1）（x99+x98+…+x2+x+1）=________；（3）计算：2+22+23+…+2n．四、解答题27.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）•（x+）28.计算：（1）（）﹣1+2×（﹣2）﹣2-（﹣π+3.14）0﹣（）﹣3（2）用简便方法计算：1252﹣124×126﹣4101×（﹣0.25）99．29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02，12=42﹣22，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m=；②m的倍数一定（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．五、综合题30.化简（1）(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)·…·(x16+y16)；（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．5答案解析部分一、单选题1.3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A.4B.5C.6D.8【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264﹣1+1=264，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选C．【分析】原式中的3变形为22﹣1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A.（x+a）（x﹣a）B.（﹣x﹣b）（x﹣b）C.（a+b）（﹣a﹣b）D.（b+m）（m﹣b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、B、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选C．【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）6A.（x-y）（-x+y）B.（-x+y）（-x-y）C.（-x-y）（x-y）D.（x+y）（-x+y）【答案】A【考点】平方差公式【解析】【分析】根据公式（a+b)（a-b)=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．【解答】A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；B、两个括号中，-x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；故选：A．4.下列各式能用平方差公式计算的是()A.(2a＋b)(2b－a)B.C.(a＋b)(a－2b)D.(2x－1)(－2x＋1)【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积.故选B.5.下列各式中能用平方差公式的是（）A.（2a﹣3）（﹣2a+3）B.（a+b）（﹣a﹣b）C.（3a+b）（b﹣3a）D.（a+1）（a﹣2）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、∵（2a﹣3）（﹣2a+3）=﹣（2a﹣3）（2a﹣3）=﹣（2a﹣3）2，∴不能用平方差公式，故本选项错误；B、∵（a+b）（﹣a﹣b）=﹣（a+b）（a+b）=﹣（a+b）2，∴不能用平方差公式，故本选项错误；C、∵（3a+b）（b﹣3a）=（b+3a）（b﹣3a），∴两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，即能用平方差公式，故本选项正确；7D、∵平方差公式的特点是两多项式的一项互为相反数，一项相等，a和a相等，﹣1和﹣2不互为相反数，∴不能用平方差公式，故本选项错误；故选C．【分析】提取﹣1后得出﹣（2a﹣3）（2a﹣3）推出﹣（2a﹣3）2，即可判断A；提取﹣1后得出﹣（a+b）（a+b）推出﹣（a+b）2，即可判断B；根据平方差公式的特点是两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断C、D．6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A.b-aB.a-bC.-a-2ab+bD.-a+2ab+b【答案】A【考点】平方差公式【解析】解答：（a+b）(-a+b)=（b+a）(b-a)=b-a.分析：本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.故选A.7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A.（2a-b）（-2a+b）B.（a-2b）（2a+b）C.（2a-b）（-2a-b）D.（-2a-b）（2a+b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可．【解答】A、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；B、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；D、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式．故选C．【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积．8.下列能用平方差公式计算的是（）A.（﹣a+b）（a﹣b）B.（x+2）（2+x）C.D.（x﹣2）（x+1）【答案】C8【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式；B、两项都完全相同，不符合平方差公式；C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；D、有一项﹣2与1不同，不符合平方差公式．故选C．【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A.2B.4C.±2D.±4【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：∵（x+m）2=x2+2mx+m2=x2+kx+4是一个完全平方式，∴2m=k，m2=4，解得：m=±2，k=±4，故选D．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（-a-1）（-a+1）B.（-a-1）（-a+1）C.（-a-1）（-a+1）D.（a-1）（-a-1）E.（a-1）（-a-1）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判断即可得解．【解答】A、（-a-1)（-a+1)，是-a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；9B、（a-1)（-a-1)，是-1与a的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；C、（a-1)（1+a)，是a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；D、（a+1)（-a-1)，a与1都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A.（x+9）（x﹣9）B.（x+9）（﹣x﹣9）C.（﹣x+9）（﹣x﹣9）D.（﹣x﹣9）（x﹣9）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：81﹣x2=（﹣x﹣9）（x﹣9）或者（9+x）（9﹣x）．故选D．【分析】本题是平方差公式的应用，选项D中，﹣9是相同的项，互为相反项是x与﹣x，据此即可解答．