误差理论与数据处理第三章

第三章误差合成与分配误差合成→精度评估误差分配→精度设计第一节函数误差第二节随机误差的合成第三节未定系统误差与随机误差合成第四节误差分配第五节微小误差取舍准则第六节最佳测量方案的确定第三章主要内容第一节函数误差基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差1、函数标准差的计算2、相关系数估计基本概念间接测量函数误差一、函数系统误差间接测量数学模型12(,,...,)nyfxxx函数系统误差公式y1212...nnfffyxxxxxx几种简单函数的系统误差1、线性函数1122...nnyaxaxax1122...nnyaxaxax2、三角函数形式12sin,,...,nfxxx11cosniiifxx【例3-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。50mmh500mml50.1mmh499mml【解】建立间接测量大工件直径的函数模型24lDhhD2lh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值50mmh500mml201300mm4lDhh车间工人测量弓高、弦长的系统误差hl5050.10.1mmh5004991mml直径的系统误差7.4mmffDlhlh50052250fllh222250011244450flhh故修正后的测量结果013007.41292.6mmDDD计算结果误差传播系数为第一节函数误差基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差1、函数标准差的计算2、相关系数估计二、函数随机误差数学模型12(,,...,)nyfxxx变量中有随机误差，即泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得函数的一般形式1122(,,,)nnyyfxxxxxx121212(,,...,)nnnfffyyfxxxxxxxxx得到1212nnfffyxxxxxx1、函数标准差计算函数随机误差计算),,,(21nxxxfy1212nnfffyxxxxxx为求得用各个测量值的标准差表示的函数y的标准差公式，设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：函数随机误差计算对x1Nxxx11211,,,对x2Nxxx22221,,,对xnnNnnxxx,,,21函数y的随机误差为：nNnNNNynnynnyxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxf22112222121212121111将上面方程组中每个方程平方得njijNiNjinNnNiNNnjijijinnnjijijinnxxxfxfxxfxxfxxfyxxxfxfxxfxxfyxxxfxfxxfxxfxxfy1222222221212222221221221112122212221121212)()()(2)()(2)()()(Nniyyi12由数理统计的结论将上面方程组中每个方程平方得njijNiNjinNnNiNNnjijijinnnjijijinnxxxfxfxxfxxfxxfyxxxfxfxxfxxfyxxxfxfxxfxxfxxfy1222222221212222221221221112122212221121212)()()(2)()(2)()()(njiNmjmimjixnnxxyNxxxfxfxfxfxf1122222221212)(2)()()(按标准差表示的函数y的随机误差评价指标若定义NxxKNmjmimij1相关系数的统计计算公式22()()(,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxxxxxxx由(xi,xj)的多组测量对应值(xik,xjk)按如下统计公式计算相关系数xjxiijijK或xjxiijijK则可得njixjxiijjixnnxxyxfxfxfxfxf122222221212)(2)()()(其中：是第i个测量值和第j个测量值之间的误差相关系数。ijijyxi由称为函数随机误差公式),,2,1(nixfi误差传播系数测量值随机误差相互独立,N适当大01NxxKNmjmimij相关系数也为0，则ij2222222121)()()(xnnxxyxfxfxf令iiaxf则2222222121xnnxxyaaa2lim222lim2221lim211xnnxximyaaa用极限误差表示则2222221212yxxxnnfffxxx相互独立的函数标准差计算0ijijD若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项iifax令2222221122yxxnxnaaa函数的极限误差公式2222221122yxxnxnaaa三角形式的函数随机误差公式函数形式为12sin(,,...,)nfxxx函数随机误差公式为22222212121cosxxxnnfffxxx【例3-2】用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长。已知车间工人测量该工件弓高的标准差，弦长的标准差，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。50mmh500mml50.1mmh499mml【解】0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.00516910mmDlhfflh0.13mmD有故修正后的测量结果01292.6mmDDD0.13mmD第一节函数误差基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差1、函数标准差的计算2、相关系数估计2、相关系数估计相关系数对函数误差的影响2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij相关系数的确定－直接判断法可判断的情形0ij断定xi与xj两分量之间无相互依赖关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然当xi与xj属于完全不相干的两类体系分量当xi与xj虽相互有影响，但影响甚微，视为可忽略不计的弱相关相关系数的确定－直接判断法断定xi与xj两分量间近似呈现正、负线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然当xi与xj属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关可判断或的情形1ij1ij相关系数的统计计算公式22()()(,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxxxxxxx由(xi,xj)的多组测量对应值(xik,xjk)按如下统计公式计算相关系数第一节小结基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差1、函数标准差的计算2、相关系数估计第一节函数误差第二节随机误差的合成第三节未定系统误差与随机误差合成第四节误差分配第五节微小误差取舍准则第六节最佳测量方案的确定第三章主要内容第二节随机误差的合成一、按标准差合成二、按极限误差合成一、按标准差合成211()2qqiiijijijiijaaa合成标准差的特殊情形21()qiiia0ij→21qii1ia→二、按极限误差合成单项极限误差1,2,...,iiikiqiiik合成极限误差k合成极限误差计算公式211()2qqjiiiijijiijiijakaakkkk合成极限误差特殊情形211()2qqiiijijijiijaaa12qkkkk21qii0ij1ia→第二节小结一、按标准差合成二、按极限误差合成第一节函数误差第二节随机误差的合成第三节未定系统误差与随机误差合成第四节误差分配第五节微小误差取舍准则第六节最佳测量方案的确定第三章主要内容第三节未定系统误差与随机误差的合成一、未定系统误差的合成二、未定系统误差与随机误差的合成按标准差合成n次重复测量情形按极限误差合成n次重复测量情形一、未定系统误差的合成对已定系统误差，在处理测量结果时应先修正而不宜合成对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机误差进行合成第三节未定系统误差与随机误差的合成一、未定系统误差的合成二、未定系统误差与随机误差的合成按标准差合成n次重复测量情形按极限误差合成n次重复测量情形二、未定系统误差与随机误差的合成随机误差未定系统误差→总误差按标准差合成按极限误差合成合成方式按标准差合成12,,,q212,,,rsss22211rqijijsR→当各个误差之间互不相关22211rqijijs→N次重复测量情形单次测量最后结果的总标准差22211rqijijsn次重复测量测量结果平均值的标准差公式222111rqijijsnx按极限误差合成12,,,q212,,,reee→各个误差互不相关且K=ki→22211rqjhjhjhekRkk总k总22211rqjhjhe总总N次重复测量情形n次重复测量总极限误差222111rqjhjhen总总单次测量最后结果的总误差22211rqjhjhe总总【例3-3】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为，，已知工件的高度为。根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。求测量结果及其极限误差150.026mml250.025mml80mmH【例3-3】测量过程中主要的误差序号123456误差因素极限误差/μm随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差【例3-3】的测量结果【解】两次测量结果的平均值为01211()(50.02650.025)mm50.0255mm22Lll根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在范围内的误差，此项误差为已定系统误差，应予修正50mm0.0008mm则测量结果050.0255mm0.0008mm50.0247mmLL【例3-3】的极限误差计算结果设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果（两次测量的平