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1周周练(21.1～21.2.2)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；②x2＋4x－3＝0；③x2－4＋x5＝0；④3x＝x2.其中是一元二次方程的有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个2．(山西第二次质量评估)一元二次方程(x＋3)2＝25可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋3＝5，则另一个一元一次方程是(D)A．x－3＝－5B．x－3＝5C．x＋3＝5D．x＋3＝－53．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(C)A．x2－1＝0B．x2＝0C．x2＋4＝0D．－x2＋3＝04．若1－3是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为(A)A．－2B．43－2C．3－3D．1＋35．一元二次方程3x2－4x＋1＝0的根的情况为(D)A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．将方程x2＋8x＋9＝0配方后，可变形为(B)A．(x＋8)2＝7B．(x＋4)2＝7C．(x＋4)2＝25D．(x＋4)2＝－97．直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是(B)A.37B．5C.38D．78．如果关于x的一元二次方程kx2－2k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(D)A．k＜12B．k＜12且k≠02C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠09．(阳泉市平定县月考)定义一种新运算，a♣b＝a(a－b)，例如4♣3＝4×(4－3)＝4.若x♣2＝3，则x的值是(C)A．x＝3B．x＝－1C．x1＝3，x2＝－1D．x1＝3，x2＝110．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是长比宽多(A)A．12步B．24步C．36步D．48步二、填空题(每小题4分，共20分)11．若关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝2．12．已知方程x2－3x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝94．13．(阳泉市平定县期末)已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则a2＋2ab＋b2的值为1．14．(山西农业大学附中月考)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0的一个根为2，则方程的另一个根为x＝－3．15．两个实数的和为4，积为－7，则这两个实数为2＋11和2－11．三、解答题(共40分)16．(8分)写出下列方程的一般形式、二次项系数、一次项系数以及常数项．方程一般形式二次项系数一次项系数常数项x2－4x－3＝0x2－4x－3＝01－4－32x2＝02x2＝020012x2＝712x2－7＝0120－7(2y－3)2＝y(y＋2)3y2－14y＋9＝03－14917.(10分)解下列方程：3(1)3(x－3)2－25＝0；解：整理，得(x－3)2＝253.∴x－3＝±533.∴x1＝3＋533，x2＝3－533.(2)x2－2x＝2x＋1.解：原方程可化为x2－4x－1＝0.∴a＝1，b＝－4，c＝－1.∴Δ＝b2－4ac＝20.∴x＝－（－4）±202×1＝2±5.∴x1＝2＋5，x2＝2－5.18．(10分)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)当k＝5时，求这个方程的根．解：(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2.∵不论k取何值，(k－1)2≥0总成立，∴方程总有两个实数根．(2)当k＝5时，方程为x2－8x＋12＝0.解这个方程，得x1＝2，x2＝6.∴当k＝5时，这个方程的根为x1＝2，x2＝6.419．(12分)阅读下面的材料：解方程x4－7x2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2－7y＋12＝0.∵a＝1，b＝－7，c＝12，∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.∴y＝－b±b2－4ac2a＝－（－7）±12.解得y1＝3，y2＝4.当y＝3时，x2＝3，x＝±3.当y＝4时，x2＝4，x＝±2.∴原方程有四个根为x1＝3，x2＝－3，x3＝2，x4＝－2.以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0；(2)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值．解：(1)设y＝x2＋x，则原方程可化为y2－5y＋4＝0.∵a＝1，b＝－5，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×4＝9.∴y＝5±92＝5±32.解得y1＝1，y2＝4.当x2＋x＝1，即x2＋x－1＝0时，解得x＝－1±52.当x2＋x＝4，即x2＋x－4＝0时，解得x＝－1±172.综上所述，原方程的解为x1＝－1＋52，x2＝－1－52，x3＝－1＋172，x4＝－1－172.5(2)设x＝a2＋b2，则原方程可化为x2－3x－10＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝－10，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－10)＝49.∴x＝－b±b2－4ac2a＝3±492＝3±72.解得x1＝5，x2＝－2(舍去)．故a2＋b2＝5.