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122.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质01基础题知识点1二次函数y＝ax2＋k的图象1．(教材P33练习变式)函数y＝13x2＋1与y＝13x2的图象的不同之处是(C)A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状2．(自贡期中)二次函数y＝x2＋1的图象大致是(B)3．(上海中考)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C)A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋34．抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)．5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值y＝2x2＋2向上y轴(0，2)最小值2y＝－5x2－3向下y轴(0，－3)最大值－3y＝15x2＋1向上y轴(0，1)最小值1y＝－12x2－4向下y轴(0，－4)最大值－46.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝－2x2＋3与抛物线y＝－2x2有什么关系？解：如图所示：2(1)抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．(2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位长度得到．知识点2二次函数y＝ax2＋k的性质7．(河池中考)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(D)A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y28．下列关于抛物线y＝－x2＋2的说法正确的是(D)A．抛物线开口向上B．顶点坐标为(－1，2)C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大D．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大9．二次函数y＝3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小．因为a＝30，所以y有最小值，当x＝0时，y的最小值是－3．10．能否通过适当地上下平移二次函数y＝13x2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．解：设平移后的函数解析式为y＝13x2＋k，把(3，－3)代入，得－3＝13×32＋k，解得k＝－6.3∴把y＝13x2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3，－3)．02中档题11．(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是(C)12．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2y3y1，则a的取值范围是(A)A．a0B．a0C．a≥0D．a≤013．(山西农业大学附中月考)已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为(D)A．a＋cB．a－cC．－cD．c14．(泸州中考)已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y＝14x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(C)A．3B．4C．5D．615．已知y＝(m＋2)xm2＋m－4－3是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则m＝－3．16．将抛物线y＝ax2＋c向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝－2x2－1，则a＝－2，c＝2．17．若抛物线y＝ax2＋k(a≠0)与y＝－2x2＋4关于x轴对称，则a＝2，k＝－4．418．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位长度．(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．解：(1)新图象的函数解析式为y＝－12x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴．(2)略．(3)当x＝0时，y有最大值，为2.03综合题19．(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋14与y轴相交于点A，点B在y轴上，且在点A的上方，AB＝OA.(1)填空：点B的坐标是(0，12)；(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由．解：∵B点坐标为(0，12)，∴设直线的解析式为y＝kx＋12.令y＝0，得kx＋12＝0，解得x＝－12k.∴OC＝－12k.∵PB＝PC，∴点P只能在x轴上方．过B作BD⊥l于点D，设PB＝PC＝m，则BD＝OC＝－12k，CD＝OB＝12，5∴PD＝PC－CD＝m－12.在Rt△PBD中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2，即m2＝(m－12)2＋(－12k)2，解得m＝14＋14k2.∴PB＝14＋14k2.∴P点坐标为(－12k，14＋14k2)．当x＝－12k时，代入抛物线的解析式可得y＝14＋14k2，∴点P在抛物线上．6第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质01基础题知识点1二次函数y＝a(x－h)2的图象1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝12(x－2)2的图象可能是(D)2．抛物线y＝－4(x＋3)2与x轴的交点坐标是(－3，0)，与y轴的交点坐标是(0，－36)．3．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a＝－1．4．(教材P35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)．抛物线y＝(x－2)2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，0)．知识点2二次函数y＝a(x－h)2的性质5．下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是(D)A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＞－4时，y随x的增大而减小D．当x＜－4时，y随x的增大而减小6．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y＝(x－2)2，下列说法：①图象经过点(1，1)；②当x＝2时，y有最小值0；③y随x的增大而增大；④该函数图象关于直线x＝2对称．其中正确的是(B)A．①②B．①②④7C．①②③④D．②③④7．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a0，当x＝－3时，函数的最大值是0.8．完成表格：函数开口方向对称轴顶点坐标增减性最值y＝－2x2向下y轴(0，0)当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大.y最大＝0y＝－2(x－5)2向下直线x＝5(5，0)当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大而增大.y最大＝0y＝3(x＋3)2向上直线x＝－3(－3，0)当x＞－3时，y随x的增大而增大；当x＜－3时，y随x的增大而减小.y最小＝09.(衡阳中考)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”)．10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过点(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．易错点1混淆二次函数图象的平移方向与h的加减关系11．(上海中考)如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C)A．y＝x2－1B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2D．y＝(x＋1)28易错点2二次函数增减性相关的易错12．已知二次函数y＝2(x－h)2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的值满足h≤3．02中档题13．(玉林中考)对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是(D)A．开口向下B．对称轴是x＝mC．最大值为0D．与y轴不相交14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是(D)15．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y3y1y2．16．已知二次函数y＝2(x－1)2的图象如图所示，则△ABO的面积是1．17．已知某抛物线与抛物线y＝－12x2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)．根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求抛物线与y＝－12x2＋3形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线解析式的二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y＝12(x＋5)2.918．二次函数y＝a(x－h)2的图象如图，已知a＝12，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．解：由题意，得C(h，0)，y＝12(x－h)2.∵OA＝OC，∴A(0，h)．将点A(0，h)代入抛物线的解析式，得12h2＝h.∴h1＝2，h2＝0(不合题意，舍去)．∴该抛物线的解析式为y＝12(x－2)2.03综合题19．已知点P(m，a)是抛物线y＝a(x－1)2上的点，且点P在第一象限内．(1)求m的值；(2)过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a(x－1)2于点Q.若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．解：(1)∵点P(m，a)是抛物线y＝a(x－1)2上的点，∴a＝a(m－1)2，解得m＝2或m＝0.又∵点P在第一象限内，∴m＝2.(2)∵a的值为3，∴抛物线的解析式为y＝3(x－1)2.∵m＝2，a＝3，∴点P的坐标为(2，3)．∵PQ∥x轴交抛物线y＝a(x－1)2于点Q，∴Q点纵坐标也为3.令y＝3，即3＝3(x－1)2，解得x＝2或x＝0.∴点Q的坐标为(0，3)．∴PQ＝2.∴S△OPQ＝12·PQ·yP＝12×2×3＝3.10第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质01基础题知识点1二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象1．(大同市期中)抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是(D)A．(－1，2)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(1，2)2．(呼伦贝尔中考)二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(D)3．将抛物线y＝12x2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为(D)A．y＝12(x－2)2＋4B．y＝12(x－2)2－2C．y＝12(x＋2)2＋4D．y＝12(x＋2)2－24．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是(1，0)．5．(教材P37练习变式)说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：抛物线开口方向对称轴顶点y＝－4(x＋3)2＋5向下直线x＝－3(－3，5)y＝3(x＋1)2－2向上直线x＝－1(－1，－2)y＝(x－5)2－7向上直线x＝5(5，－7)y＝－2(x－2)2＋6向下直线x＝2(2，6)6.画出函数y＝(x－1)2－1的图象．11解：列表：x…－2－101234…y…830－1038…描点并连线：知识点2二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质7．(台州中考)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是(B)A．(1，0)B．(3，0)C．(－3，0)D．(0，－4)8．(吕梁市文水县期中)对于抛物线y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝