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122.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质知能演练提升能力提升1.将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为()A.4B.6C.8D.102.已知抛物线y=-x2+2,当≤x≤5时,y的最大值是()A.2B.C.5D.3.若二次函数y=ax2+c当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为()A.a+cB.a-cC.-cD.c4.如图,已知抛物线y1=-2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2.若y1≠y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1y2,此时M=0.下列判断:①当x0时,y1y2;②当x0时,x值越大,M值越小;③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是-或√.其中正确的是()A.①②B.①④C.②③D.③④5.若抛物线y=ax2+k(a≠0)与y=-2x2+4关于x轴对称,则a=,k=.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为.27.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法:①若y1=y2,则x1=x2;②若x1=-x2,则y1=-y2;③若0x1x2,则y1y2;④若x1x20,则y1y2,其中正确的是.(填序号)8.已知函数y1=-x2,y2=-x2+3和y3=-x2-1,y4=-x2+6.(1)分别画出它们的图象;(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)试说明函数y2=-x2+3,y3=-x2-1,y4=-x2+6的图象分别由抛物线y1=-x2作怎样的平移才能得到?9.已知直线y=2x与抛物线y=ax2+3相交于点(2,b).(1)求a,b的值;(2)若直线y=2x上纵坐标为2的点为A,抛物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AOB.3★10.如图,二次函数y=-x2+c的图象经过点D(-√),与x轴交于A,B两点.(1)求c的值;(2)设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式.4创新应用★11.明珠大剧场坐落在聊城东昌湖西岸,其上部为能够旋转的拱形钢结构,并且具有开启、闭合功能,如图①.舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分,其中舞台高度为1.15m,台口高度为13.5m,台口宽度为29m,如图②.以ED所在直线为x轴,过拱顶点A且垂直于ED的直线为y轴,建立平面直角坐标系.①②(1)求拱形抛物线的函数解析式;(2)舞台大幕悬挂在长度为20m的横梁MN上,其下沿恰与舞台面接触,求大幕的高度(精确到0.01m).5参考答案能力提升1.B2.C因为a=-0,所以抛物线的开口向下,当x0时,y随x的增大而减小,因为≤x≤5所以当x=1时,y有最大值,为5.故选C.3.D因为抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,再由抛物线的对称性知x1和x2互为相反数,所以x1+x2=0,把x=0代入y=ax2+c得y=c.故选D.4.D观察题中图象可知当x0时,y1y2,故①不正确;②当x0时,x值越大,M值越大,故②不正确;由图象可知M的最大值为2,故使得M大于2的x值不存在,故③正确;当M=1时,2x+2=1(-≤x≤0)或-2x2+2=1(x0),解得x=-或x=√,故④正确.5.2-46.6在函数y=ax2+3中,当x=0时,y=3,故点A坐标为(0,3).把y=3代入y=x2,解得x=±3,故点B坐标为(-3,3),点C坐标为(3,3),BC=6.7.④若y1=y2,则x1=x2或x1=-x2,所以①与②均错误;若0x1x2,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,则y1y2,所以③错误;若x1x20,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,则y1y2,所以④是正确的.8.解(1)函数图象如下图,从上到下依次为函数y4=-x2+6,y2=-x2+3,y1=-x2,y3=-x2-1的图象.(2)如下表:抛物线开口方向对称轴顶点坐标y1=-x2向下x=0(0,0)y2=-x2+3向下x=0(0,3)6y3=-x2-1向下x=0(0,-1)y4=-x2+6向下x=0(0,6)(3)分别由抛物线y1=-x2向上平移3个单位长度、向下平移1个单位长度、向上平移6个单位长度得到.9.解(1)因为点(2,b)在直线y=2x上,所以b=4.又因为(2,b)即(2,4)在抛物线y=ax2+3上,所以4a+3=4.所以a=.(2)在y=2x中,令y=2,则x=1,所以A(1,2).又因为抛物线y=x2+3的顶点B为(0,3),所以S△AOB=OB·|xA|=×3×1=.10.分析(1)将点D的坐标代入二次函数解析式即可求出c的值;(2)要证明线段BD被直线AC平分,从“直线AC将四边形ABCD的面积二等分”来寻求解题思路,不难发现S△ABC=S△ADC.通过面积法可得公共边AC上的两条高相等,再通过全等可得线段BD被直线AC平分.解(1)因为抛物线经过点D(-√),所以-×(-√)2+c=.所以c=6.(2)如图,过点D,B分别作直线AC的垂线,垂足分别为E,F,设AC与BD交于点M,因为AC将四边形ABCD的面积二等分,即S△ABC=S△ADC,所以DE=BF.又因为∠DME=∠BMF,∠DEM=∠BFM,所以△DEM≌△BFM.所以DM=BM,即AC平分BD.因为c=6,所以抛物线的解析式为y=-x2+6.所以A(-2√,0),B(2√,0).因为M是BD的中点,所以M(√).7设直线AC的解析式为y=kx+b,由直线AC经过点A,M,可得{-√0√解得{√05所以直线AC的解析式为y=√0x+5.创新应用11.解(1)由题设可知,OA=13.5+1.15=14.65(m),OD=(m),则A(0,14.65),C(5).设拱形抛物线的解析式为y=ax2+c,则{5·05·()解得a=-5,c=14.65.故所求函数的解析式为y=-5x2+14.65.(2)由MN=20m,设点N的坐标为(10,y0),代入关系式,得y0=-5×102+14.65≈8.229.故y0-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08,即大幕的高度约为7.08m.