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1小专题8二次函数的实际应用类型1面积问题1．(教材P57习题T7变式)(内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．解：(1)依题意可列方程x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0.解得x1＝3，x2＝12.当x＝3时，30－2x＝2418，故舍去；当x＝12时，30－2x＝618，∴x＝12.(2)依题意，得8≤30－2x≤18.解得6≤x≤11.面积S＝x(30－2x)＝－2(x－152)2＋2252(6≤x≤11)．①当x＝152时，S有最大值，S最大＝2252；②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88.(3)x的取值范围是6≤x≤10.2．(吕梁孝义市月考)为了响应国家“自主创业”的号召，某大学毕业生开办了一个装饰品商店，采购了一种今年刚上市的饮品进行了30天的试销．购进价格为20元/件，销售结束后，得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间的关系如图1所示．销售价格Q(元/件)与销售时间x(天)之间的关系如图2所示．2(1)根据图象直接写出：日销售量P(件)与销售时间x(天)之间的函数关系式为P＝－2x＋80；销售单价Q(元/件)与销售时间x(天)的函数关系式为Q＝12x＋30；(不要求写出自变量的取值范围)(2)写出该商店的日销售利润W(元)和销售时间x(天)之间的函数关系式；(要求写出自变量的取值范围)(3)请问在30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．解：(2)根据题意，得W＝P(Q－20)＝(－2x＋80)[(12x＋30)－20]＝－x2＋20x＋800(1≤x≤30，且x为正整数)．(3)∵W＝－x2＋20x＋800＝－(x－10)2＋900，且－10，∴当x＝10时，W取最大值为900.∴在30天的试销中，第10天的日销售利润最大，最大利润为900元．类型2利润问题3．(大同市期中)“双十一”期间，天猫商城销售异常火爆．其中一种护眼台灯一段时间内的销售量y(台)与销售单价x(元/台)之间的对应关系如图所示：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若护眼台灯的进价为20元/台，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(元)与销3售单价x(元/台)之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若销售过程中销售单价不低于成本价，而且每台的利润不高于成本价的50%，要想获得最大利润，试确定这种护眼台灯的销售单价，并求出此时的最大利润．解：(1)由图中数据可知，y是x的一次函数，设y＝kx＋b.将点(10，400)，(20，300)代入关系式，得10k＋b＝400，20k＋b＝300，解得k＝－10，b＝500.∴y＝－10x＋500.(2)w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000.(3)∵销售单价不低于成本价，∴x≥20.又∵每台的利润不高于成本价的50%，∴x－20≤20×50%.∴x≤30.∴x的取值范围是20≤x≤30.w＝－10x2＋700x－10000，对称轴是直线x＝－b2a＝35.∵a＝－10＜0，当20≤x≤30时，w随x的增大而增大，∴当x取30时，w有最大值．此时w＝－10×302＋700×30－10000＝2000.答：销售单价是30元时，获得最大利润，此时最大利润为2000元．4．(安徽中考)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数解析式；(2)设商品每天的利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式；(利润＝收入－成本)(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利4润，最大利润是多少？解：(1)设y＝kx＋b，将(50，100)和(60，80)分别代入y＝kx＋b，得50k＋b＝100，60k＋b＝80，解得k＝－2，b＝200.∴y与x之间的函数解析式为y＝－2x＋200.(2)W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，∴W与x之间的函数解析式为W＝－2(x－70)2＋1800.(3)∵W＝－2(x－70)2＋1800中，a＝－2＜0，40≤x≤80，∴抛物线开口向下，当40≤x70时，W随x的增大而增大，当70＜x≤80时，W随x的增大而减小．∴在x＝70时，W取得最大值，为1800.答：售价为70元时，获得最大利润，最大利润是1800元．类型3实物抛物线问题5．(山西农业大学附中月考)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓是抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40个小时内，水面与河底ED的距离h(米)随时间(时)的变化满足函数关系：h＝－1128(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当顶点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行．请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？5解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋11，由题意得B(8，8)，∴64a＋11＝8，解得a＝－364，∴y＝－364x2＋11.(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，∴6＝－1128(t－19)2＋8.解得t1＝35，t2＝3.∴35－3＝32(小时)．答：需32小时禁止船只通行．类型4其他问题6．(成都中考)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx(千米)891011.513y1(分钟)1820222528(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2＝12x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．6解：(1)设y1＝kx＋b，将(8，18)，(9，20)代入y1＝kx＋b，得8k＋b＝18，9k＋b＝20.解得k＝2，b＝2.故y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2.(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y＝y1＋y2＝2x＋2＋12x2－11x＋78＝12x2－9x＋80＝12(x－9)2＋39.5.∵120，∴当x＝9时，y有最小值，最小值为y＝39.5.答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．