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124.1.4圆周角第1课时圆周角定理及其推论01基础题知识点1圆周角的概念1．下列图形中的角是圆周角的是(B)知识点2圆周角定理2．(茂名中考)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(A)A．150°B．140°C．130°D．120°3．(滨州中考)如图，在⊙O中，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为(C)A．156°B．78°C．39°D．12°4．(山西模拟)如图，直径为AB的⊙O中，BC︵＝2AC︵，连接BC，则∠B的度数为(B)A．35°B．30°C．20°D．15°知识点3圆周角定理的推论5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A．35°B．45°C．55°D．65°26．(绍兴中考)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB︵＝BC︵，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(D)A．60°B．45°C．35°D．30°7．(黔西南中考)如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(A)A．65°B．75°C．50°D．55°8．(太原二模)如图，BD是圆O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)A．30°B．45°C．60°D．75°9．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10cmB．5cmC．6cmD．10cm10．(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为200m.311．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.证明：∵AB＝BC，∴AB︵＝BC︵.∴∠ADB＝∠BDC.∴DB平分∠ADC.易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错12．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．02中档题13．(海南中考)如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B)A．25°B．50°C．60°D．80°14．(吕梁孝义市期中)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(B)A．100°B．110°C．115°D．120°15．(广州中考)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，4∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D)A．AD＝2OBB．CE＝EOC．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD16．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为(0，23)．17．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求BC的长；(2)求BD的长．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝102－52＝53.(2)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.∴AD＝BD.设BD＝AD＝x，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2.∴x2＋x2＝102.5解得x＝52.∴BD＝52.18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝12AB＝12×2＝1.603综合题19．(东营中考)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，AC︵＝CD︵＝BD︵，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8__cm．第2课时圆内接四边形01基础题知识点圆内接四边形的性质1．(湘潭中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°，则∠BCD的度数是(D)A．60°B．90°C．100°D．120°2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A．115°B．105°C．100°D．95°3．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．4．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是AC︵的中点，则∠DAC的度数是30°．75．如图所示，已知圆心角∠AOB＝100°，求∠ACD的度数．解：在优弧AMB︵上任取一点N，连接AN，BN，由圆周角定理，得∠N＝12∠AOB＝12×100°＝50°.∴∠ACB＝180°－∠N＝180°－50°＝130°.∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－130°＝50°.6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，则2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.则2x＝40，7x＝140，8x＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.7．(T4的变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．8证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径．易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误8．(来宾中考)如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．02中档题9．(山西中考模拟百校联考)如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是(C)A．30°B．45°C．60°D．75°10．(聊城中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD︵上一点，且DF︵＝BC︵，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(B)A．45°B．50°C．55°D．60°911．(南京中考)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．12．(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80(50°≤∠BPD≤100°)(写出一个即可)．13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.14．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.(1)求证：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．10解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.03综合题15．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于⊙O，11∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ADC＝90°.在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.(3)连接EF.∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ECD＝∠A.∵∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，∴∠A＝∠CEF＋∠CFE.∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°.∴∠A＝90°－α＋β2.