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124.1.4圆周角知能演练提升能力提升1.(2017·湖北黄冈中考)如图,已知在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为()A.30°B.35°C.45°D.70°2.(2017·贵州毕节中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD的度数为()A.30°B.50°C.60°D.70°3.(2017·山东青岛中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为()A.100°B.110°C.115°D.120°(第2题图)(第3题图)4.如图,☉O的半径为1,AB是☉O的一条弦,且AB=√3,则弦AB所对圆周角的度数为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°5.(2017·甘肃白银中考)如图,△ABC内接于☉O,若∠OAB=32°,则∠C=°.2(第4题图)(第5题图)6.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.7.如图,矩形OABC内接于扇形MON,当CN=CO时,∠NMB的度数是.(第6题图)(第7题图)8.如图,已知⏜⏜⏜,点P为劣弧⏜上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.3★9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的☉O交△ABC的边于点G,F,E.求证:(1)F是BC的中点;(2)∠A=∠GEF.创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧⏜和⏜的度数有什么关系?4(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):.(2)证明你的结论.11.如图,甲、乙两名队员相互配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到点A时,乙刚好跟随到了点B,从数学角度来看,此时甲是自己射门还是把球传给乙射门更有利,并说明理由.参考答案5能力提升1.B∵OA⊥BC,∠AOB=70°,∴⏜⏜,∴∠ADC=12∠AOB=35°.故选B.2.C连接BD,∵∠ACD=30°,∴∠ABD=30°.∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠ABD=60°.故选C.3.B连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,故选B.4.D如图,连接OA,OB,作OC垂直AB于点C,易得OA=1,AC=√32,OC=12.从而∠OAC=30°,所以∠AOB=120°.所以弦AB所对的优弧上的圆周角为60°,所对劣弧上的圆周角为120°.5.58如图,连接OB,∵OA=OB,∴△AOB是等腰三角形,6∴∠OAB=∠OBA.∵∠OAB=32°,∴∠OBA=∠OAB=32°,∴∠AOB=116°,∴∠C=58°.6.88°∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B,C,D在以A为圆心的圆周上,∴∠BDC=12∠BAC,∠CAD=2∠CBD.∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC,∴∠CBD=44°,∴∠CAD=88°.7.30°连接BO,BN,∵BC垂直且平分线段ON,∴BO=BN.又OB=ON,∴△BON是等边三角形.∴∠BON=60°.∴∠NMB=12∠BON=12×60°=30°.8.(1)解∵⏜⏜⏜,∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明在PA上截取PD=PC,连接DC,∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,7∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=PB+PC.9.证明(方法1)(1)如图①,连接DF.①∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴BD=DC=12AB.∵DC是☉O的直径,∴DF⊥BC.∴BF=FC,即F是BC的中点.(2)∵D,F分别是AB,BC的中点,∴DF∥AC,∠A=∠BDF.∵∠BDF=∠GEF,∴∠A=∠GEF.(方法2)(1)如图②,连接DF,DE.②∵DC是☉O的直径,∴∠DEC=∠DFC=90°.∵∠ECF=90°,∴四边形DECF是矩形.∴EF=CD,DF=EC.∵D是AB的中点,∠ACB=90°,∴EF=CD=BD=12AB.∴Rt△DBF≌Rt△EFC.故BF=FC,8即F是BC的中点.(2)∵△DBF≌△EFC,∴∠BDF=∠FEC,∠B=∠EFC.∵∠ACB=90°,(也可证AB∥EF,得∠A=∠FEC)∴∠A=∠FEC.∴∠A=∠BDF,∵∠FEG=∠BDF,∴∠A=∠GEF.创新应用10.分析本题是一道结论探索题,解题的关键是如何将圆外角∠DPB与圆周角联系起来.不妨连接AD,这时∠D是⏜所对的圆周角,∠DAB是⏜所对的圆周角,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和找到这三个角的联系,从而使问题解决.解(1)圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.(2)如图,连接AD,则∠DPB=∠DAB-∠D.因为∠DAB=12⏜的度数,∠D=12⏜的度数,所以∠DPB=12×(⏜的度数-⏜的度数),即圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.11.解乙射门更有利.理由如下:连接NC.根据圆周角定理,得∠MBN=∠MCN.因为∠MCN是△NCA的外角,所以∠MCN∠MAN.所以乙射门的角度范围大,射进的可能性大.故乙射门更有利.