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1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.24.3正多边形和圆一、选择题（本题包括10小题，每小题只有1个选项符合题意）1.如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A.B.1C.D.2.已知，正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长是A.24B.6C.4D.3.如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AC的长为A.B.C.D.4.如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分面积为，则此正六边形的边长为A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm5.如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要A.6mmB.C.12mmD.6.下列关于圆的叙述正确的有圆内接四边形的对角互补；相等的圆周角所对的弧相等；正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；同圆中的平行弦所夹的弧相等．2A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，以半径为2的正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，顶点A，D在x轴上，则点C的坐标为A.B.C.D.8.如图，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，则弧AD的长为A.B.C.D.9.如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为A.B.C.D.10.下列说法正确的是A.圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B.在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C.一元二次方程一定有实数根D.将绕A点按顺时针方向旋转得，则与不全等二、解答题（本题包括4小题）11.小明同学按照如下步骤进行折叠：3（1）请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：如果设正三角形ABC的边长为a，那么______用含a的式子表示；根据折叠性质可以知道的形状为______三角形；请同学们利用、的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．12.如图，点A是半径为3的⊙O上的点，尺规作图：作⊙O的内接正六边形ABCDEF；求中弧AC的长．13.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．(1)在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；(2)两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．414.(1)如图，EF是⊙O的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD，要求所作正方形的一组对边AD、BC垂直于EF见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹；(2)连接EA、EB，求出、的度数．524.3正多边形和圆参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】依题意知，过直角三角形顶点过圆心做直线垂直于底边。图中等边三角形的高h=（设r为圆的半径），设底边边长为2x，根据勾股定理可得，（2x）2-x2=（）2，解得2x=r。∴等边三角形面积S1=··=。又∵正方形的对角线等于圆的半径，所以3个正方形的面积S2=3×2×r·r=2。∴=考点：等边三角形，圆和正方形这类对称图形的特殊性点评：难度较低。考查学生对几何图形的认识与灵活运算能力。运用勾股定理，等边三角形每个角60°得出辅助线作用下的小直角为30°特殊直角三角形，30°角对应的直角边等于斜边的一半。正方形对角线把正方形平分成两个全等直角三角形等。2.【答案】C【解析】如图所示，连接OB、OC；∵此六边形是正六边形，∴∠BOC==60°，∵OB=OC=4，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=4．故选C．3.【答案】C【解析】如图所示,∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，∴∠AOC=120°，∴的长为=2π．故选C．64.【答案】B【解析】由正六边形可分成六个全等的等边三角形，则阴影部分的面积与中间的正三角形的面积相等，即阴影部分的面积为正六边形的面积的一半.设边长为R，所以有216sin602232R，所以R=4cm.故选B.5.【答案】D【解析】设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=12mm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=12×=6，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=12mm．故选D．6.【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；正确的有2个，故选B．7.【答案】C【解析】连接OC．∵∠COD=60°，OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OC=OD=2.设BC交y轴于G，则∠GOC=30°.在Rt△GOC中，∵∠GOC=30°，OC=2，∴GC=1，OG=3，∴C(1，-3).故选C.8.【答案】C【解析】连接OA，OD，∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，∴∠OAF=∠ODE=90°，∵∠E=∠F=120°，7∴∠AOD=540°-90°-90°-120°-120°=120°，∴的长为,故选C．9.【答案】D【解析】连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，AD=，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=[4π-（2）2]=π-2．故选D．10.【答案】A【解析】如图，∠AOB==60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA，∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；故选A．二、解答题11.【答案】(1)(2)等边【解析】（1）根据折叠的性质即可得到结论；（2）根据折叠的性质即可得到结论；（3）由（2）知△CDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到结论．解：（1）∵正三角形ABC的边长为a，8由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，∴CO=a；故答案为：a；（2）△CDE为等边三角形；故答案为：等边；（3）由（2）知△CDE为等边三角形，∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．12.【答案】（1）见解析；（2）2π【解析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；（2）由（1）可求得∠AOC=120°，继而求得（1）中的长．解：（1）首先连接OA，然后以A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，F，再分别以B，F为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点E，C，在以C为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点D，则正六边形ABCDEF即为所求；（2）∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形∴∠AOC=×2=120°，∵⊙O的半径为3，∴的长为：=2π．13.【解析】（1）利用已知得出正八边形,它的内角都为135°,再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称,得出∠2+∠3=180°,进而得出答案,（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE,则PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,故9四边形PQMN是正方形,进而求出PQ的长即可得出答案.解：（1）连接BF,则有BF∥AG,理由如下:∵ABCDEFGH是正八边形,∴它的内角都为135°,又∵HA=HG,∴∠1=22.5°,从而∠2=135°﹣∠1=112.5°,由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称,∴∠3＝135°=67.5°即∠2+∠3=180°,故BF∥AG,（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°,∴∠P=90°,同理可得∠Q=∠M=90°,∴四边形PQMN是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°,AH=BC=DE,∴△PAH≌△QCB≌△MDE,∴PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,故四边形PQMN是正方形．在Rt△PAB中,∵∠PAH=45°,AB=2,∴PA=ABsin45°=2,∴PQ=PA+AB+BQ=+2+=2+2,故四边形PQMN的面积==12+8.14.【答案】（1）见解析；（2）67.5°【解析】（1）作出八等分点，即可得到圆内接正方形；（2）求出相应圆心角的度数，根据圆周角等于圆心角的一半，即可解答．解：（1）作①EF的中垂线，②直角的平分线OD，③8等分弧，完成正方形．10（2）连接OD，OC，因为圆周，所以∠EOD=360°×=45°，所以∠EAD=45°×=22.5°．因为，所以∠EBC=3∠EAD=3×22.5°=67.5°．