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124.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积01基础题知识点1弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)A.π2B．πC.π6D.π32．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)A．6B．9C．18D．363．(自贡中考)一个扇形的半径为8cm，弧长为163πcm，则扇形的圆心角为(B)A．60°B．120°C．150°D．180°4．(兰州中考)如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)A．πcmB．2πcmC．3πcmD．5πcm5．(南宁中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧BC︵的长等于(A)A.2π3B.π3C.23π3D.3π3知识点2扇形的面积公式及应用6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D)A．3πB．6πC．9πD．12π7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3πcm2，那么这个扇形的半径是(B)2A．1cmB．3cmC．6cmD．9cm8．(怀化中考)已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于10π3__cm．9．(广西中考)一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为40度．10．(常德中考)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π．11．(无锡中考)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∠BDA＝90°.∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝62＋82＝10(cm)．∵∠ABD＝45°.∴△ABD是等腰直角三角形．∴BD＝AD＝22AB＝52cm.(2)连接DO，∵△ABD是等腰直角三角形，OB＝OA，∴∠BOD＝90°.∵AB＝10cm，∴OB＝OD＝5cm.∴S阴影＝S扇形OBD－S△BOD3＝90π×52360－12×52＝(25π4－252)cm2.易错点忽视题中条件12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.02中档题13．(山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则FE︵的长为(C)A.π3B.π2C．ΠD．2π14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A．(10π－923)米2B．(π－923)米2C．(6π－923)米2D．(6π－93)米15．(盘锦中考)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AB＝4cm，分别以B，C为圆心，以BD，CD为半径画弧，交边AB，AC于点E，F，则图中阴影部分的面积是(23＋2－32π)cm2.416．(山西中考)图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB＝6cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交BC︵于点F，则BF︵的长为πcm.17．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．(1)请在图1中画出光点P经过的路径；(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π)．解：(1)如图．(2)光点P经过的路径总长为4×90π×3180＝6π.18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.(1)求证：OD平分∠AOB；(2)若OA＝2cm，求阴影部分的面积．5解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA.∵BC⊥PA，∴∠OAP＝∠BCA＝90°.∴OA∥BC.∴∠AOB＋OBC＝180°.∵∠AOB＝120°，∴∠OBC＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形．∴∠BOD＝60°.∴∠AOD＝∠BOD＝60°.∴OD平分∠AOB.(2)∵OA∥BC，∴点O和点A到BD的距离相等．∴S△ABD＝S△OBD.∴S阴影＝S扇形OBD.∴S阴影＝60π×4360＝23π(cm2)．03综合题19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．6第2课时圆锥的侧面积和全面积01基础题知识点1圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2πm，高为0.6m，它的侧面积是(B)A．1.536πm2B．1.92πm2C．0.96πm2D．2.56πm22．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的全面积是78πcm2(结果保留π)．知识点2圆锥的侧面积与全面积3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于(C)A．24cm2B．48cm2C．24πcm2D．12πcm24．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)A.12B．1C.2D.325．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)A．1.5B．2C．2.5D．36．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是(B)A．12πB．15πC．24πD．30π77．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A)A．120°B．180°C．240°D．300°8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是9cm.9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC中AC︵的长是10πcm.(结果保留π)10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12cm，弧长为12πcm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．解：侧面积为：12×12×12π＝72π(cm2)．设底面半径为r，则有2πr＝12π，∴r＝6cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为122－62＝63(cm)．易错点考虑不全面导致漏解12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或84π．02中档题13．(杭州中考)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则(A)A．l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2B．l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2C．l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4D．l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶414．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是(C)A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm215．(十堰中考)如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)A．10cmB．15cmC．103cmD．202cm916．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm2.17．(苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是12．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为82π(结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA，OB.由∠BAC＝120°，可知AB＝12米，点O在扇形ABC的BC︵上．∴扇形ABC的面积为120360π×(12)2＝π12(平方米)．∴被剪掉阴影部分的面积为10π×(12)2－π12＝π6(平方米)．(2)由2πr＝120180π×12，得r＝16.即圆锥底面圆的半径是16米．03综合题20．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的邻边(即腰AB或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAC，当∠A＝60°时，如T(60°)＝1.(1)理解巩固：T(90°)＝2，T(120°)＝3，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ＝14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)解：∵圆锥的底面直径PQ＝14，∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.设扇形的圆心角为n°，则n×π×18180＝14π，解得n＝140.∵T(70°)≈0.87，∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.