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1小专题14教材P124复习题T13的变式与应用【教材母题】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE，由点E是△ABC的内心可知∠BAD＝∠CAD.∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD.又∵∠ABE＝∠CBE，∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠CBD.∴∠BED＝∠EBD.∴DE＝DB.【问题延伸1】写出∠BED与∠C的关系：∠BED＝90°－12∠C．【问题延伸2】设AD交BC于点F，AD为△ABC外接圆的直径，G为AB上一点，且∠ADG＝12∠C.若BG＝3，AG＝5，求DE的长．解：易证AD垂直平分BC，∵∠ADG＝12∠C＝12∠ADB，∴DG平分∠ADB.由(1)知BD＝DE，∴DG垂直平分BE.连接GE，∴BG＝GE，∠DEG＝∠DBG＝90°.∵BG＝3，AG＝5，∴GE＝3.∴AE＝4.设BD＝DE＝x，则x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6.∴DE＝6.21．(临沂中考)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．解：(1)解答同教材母题解答．(2)连接DC，∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.∵∠BAD＝∠CAD，BD＝4，∴BD＝CD＝4.∴BC＝BD2＋CD2＝42.∴外接圆的半径为22.2．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，点M为△ABC的内心．(1)求证：BC＝2DM；(2)若DM＝52，AB＝8，求OM的长．解：(1)证明：连接MC，DB，DC.∵点M为△ABC的内心，∴MC平分∠ACB.∴∠ACM＝∠BCM.∵BC为直径，∴∠BAC＝90°.3∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝45°.∴∠DBC＝∠BCD＝45°.∴△BDC为等腰直角三角形．∴BC＝2DC.又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°＋∠ACM，而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°＋∠BCM，∴∠DMC＝∠DCM.∴DC＝DM.∴BC＝2DM.(2)作MF⊥BC于点F，ME⊥AC于点E，MH⊥AB于点H，连接OM.∵DM＝52，∴BC＝2DM＝10.而AB＝8，∴AC＝BC2－AB2＝6.设△ABC的内切圆半径为r，∵点M为△ABC的内心，∴MH＝ME＝MF＝r.∴四边形AHME为正方形．∴AH＝AE＝r，则CE＝CF＝6－r，BH＝BF＝8－r.而BF＋FC＝BC，∴8－r＋6－r＝10，计算得出r＝2.∴MF＝2，CF＝6－2＝4，∵OC＝5，∴OF＝5－4＝1.在Rt△OMF中，OM＝MF2＋OF2＝5.小专题15与圆的切线有关的计算与证明1．(怀化中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.4(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．解：(1)如图所示，⊙P为所求的圆．(2)BC与⊙P相切，理由：过P作PD⊥BC，垂足为D，∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.∵PA为⊙P的半径，∴BC与⊙P相切．2．(永州中考)如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．解：(1)证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCO＋∠ACO＝90°.∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO.∵∠PCA＝∠ABC，5∴∠BCO＝∠ACP.∴∠ACP＋∠OCA＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.∵OC为⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．(2)∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，∴OC＝23，OP＝2PC＝4.∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－23.3．(黄石中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.求证：(1)DB＝DE；(2)直线CF为⊙O的切线．证明：(1)∵E为△ABC的内心，∴∠DAC＝∠DAB，∠CBE＝∠EBA.又∵∠DBC＝∠DAC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.(2)连接OD.∵BD＝DF，O是BC的中点，∴OD∥CF.又∵BC为⊙O的直径，OB＝OD，∴∠ODB＝∠DBO＝∠DAC＝45°.∴∠BCF＝∠BOD＝90°.∴OC⊥CF.又OC为⊙O的半径，∴直线CF为⊙O的切线．64．(北京中考)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC︵于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.(1)求证：AC∥DE；(2)连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．解：(1)证明：∵ED与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE.∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC.∴AC∥DE.(2)①连接AD，易知AD＝AO，又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，且边长为a.∴可以进一步求出△AOD的面积为34a2；②根据点A是EO中点，可知△EOD的面积是△AOD面积的2倍，∴可得△EOD的面积为32a2；③等量代换可得四边形ACDE的面积为32a2.5．如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2＋23，求⊙O的半径r.解：(1)证明：连接OB，OC.∵MN是⊙O的切线，∴OB⊥MN.7∵∠CBN＝45°，∴∠OBC＝45°，∠BCE＝45°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴∠OCE＝90°.又∵点C在⊙O上，∴CE是⊙O的切线．(2)∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，∴四边形BOCE是矩形．又∵OB＝OC，∴四边形BOCE是正方形．∴BE＝CE＝OB＝OC＝r.在Rt△CDE中，∵∠D＝30°，CE＝r，∴DE＝3r.∵BD＝2＋23，∴r＋3r＝2＋23.解得r＝2.即⊙O的半径为2.6．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图1，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；(2)如图2，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．解：(1)连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠DAC＝30°.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO.∴∠BAC＝∠DAC＝30°.8(2)连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.∵四边形ABFE是圆内接四边形，∴∠AEF＋∠B＝180°.∴∠B＝180°－108°＝72°.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∴∠BAF＝90°－∠B＝18°.7．(教材P102习题T12变式)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，DE＝2，CD＝4.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)求⊙O的半径R；(3)延长AB，DC交于点F，OH⊥AC于点H.若∠F＝2∠ABH，则BH的长为210(直接写出)．解：(1)证明：连接OC，∵FD切⊙O于点C.∴OC⊥FD.∵AD⊥FD.∴OC∥AD.∴∠ACO＝∠DAC.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)作OG⊥AE于点G，则AG＝EG.∴OG＝CD＝4，OC＝DG＝R.∴EG＝R－2＝AG.9在Rt△AGO中，(R－2)2＋42＝R2，∴R＝5.(3)提示：连接BE，∵∠AEB＝90°.∴BE∥DF.∴∠F＝∠ABE＝2∠ABH.∴BH平分∠ABE.又∵AC平分∠BAD.∴∠AHB＝135°.∴△CHB是等腰三角形．∴BC＝CH＝AH.设BC＝x，AC＝2x，在Rt△ABC中，x2＋(2x)2＝102，∴x＝25，∴BH＝2CH＝210.