搜索
1章末复习(四)圆01分点突破知识点1垂径定理1．(黄冈中考)如图，M是CD的中点，EM⊥CD.若CD＝4，EM＝8，则CED︵所在圆的半径为174．知识点2圆心角、圆周角定理2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是(B)A．45°B．85°C．90°D．95°3．如图，在⊙O中，弦AC＝23，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝6．知识点3三角形的外接圆4．(贵阳中考)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(B)A．23cmB．43cmC．63cmD．83cm知识点4点、直线和圆的位置关系5．(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，2G，H四棵树中需要被移除的为(A)A．E，F，GB．F，G，HC．G，H，ED．H，E，F6．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以点C为圆心，分别以5，52和8为半径作圆，那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是相离、相切、相交．知识点5切线的性质与判定7．(湖州中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(B)A．25°B．40°C．50°D．65°8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．解：(1)DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵AO＝BO，BD＝DC，3∴OD是△BAC的中位线．∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.∴DE为⊙O的切线．(2)∵AO＝3，∴AB＝6.又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝6，AD＝33.∵S△ADC＝12·AC·DE＝12AD·DC，∴AC·DE＝CD·AD.∴6·DE＝3×33，解得DE＝332.知识点6切线长定理及三角形的内切圆9．《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形(内切圆)的直径是多少？(C)A．4步B．5步C．6步D．8步10．如图，直线AB，CD，BC分别与⊙O相切于B，F，G，且AB∥CD.若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE＋CG的长等于(D)A．13cmB．12cmC．11cmD．10cm知识点7正多边形和圆11．如图，等边△EFG内接于⊙O，其边长为26，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(C)A.6B.5634C．4D．5知识点8弧长、扇形面积12．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD＝∠BCD，则BD︵的长为(C)A．πB.32πC．2πD．3π13．(怀化中考)如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为π－2．1．连半径—构造等腰三角形(如图1)(如T8)图1图2图32．过圆心作弦的垂线段—构造直角三角形(涉及弦长、半径或圆心到弦的距离(如图2))(如T16)3．连接弦或半径—角度转化(通过同弧或等弧找到一些相等的角进行转化(如图3))(如T20)4．见直径，连直角；遇直角，作直径(如图4)5图4图5图6图75．遇切线，连半径，得垂直(如图5)(如T10)6．判定直线与圆相切：(1)连半径证垂直；(2)作垂直证半径(如图6，7)(如T21)02山西中考题型演练14．(山西中考百校联考三)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为(B)A．40°B．50°C．80°D．90°15．(宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22，以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则DE︵的长为(B)A.π4B.π2C．πD．2π16．(西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(C)A.156B．25C．215D．817．(山西中考)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B)A.2π3－32B.2π3－3C．π－32D．π－318．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为22.5°．19．(株洲中考)如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝80°．20．(天津中考)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图1，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．7解：(1)连接AC，∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°.∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.(2)连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°.∴∠BAD＝∠BCD＝65°.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°.∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.21．如图，AB是⊙O的直径，E为弦AP上一点，过点E作EC⊥AB于点C，延长CE至点F，连接FP，使∠FPE＝∠FEP，CF交⊙O于点D.(1)证明：FP是⊙O的切线；(2)若四边形OBPD是菱形，证明：FD＝ED.8证明：(1)连接OP，∵OP＝OA，∴∠A＝∠APO.∵EC⊥AB，∴∠A＋∠AEC＝90°.∵∠FPE＝∠FEP，∠FEP＝∠AEC，∴∠AEC＝∠FPE.∴∠OPA＋∠FPA＝90°.∴OP⊥PF.∵OP为⊙O的半径，∴FP是⊙O的切线．(2)∵四边形OBPD是菱形，∴PD∥AB，PB＝OB.∵OB＝OP，∴OP＝OB＝PB.∴△OPB是等边三角形．∴∠B＝∠BOP＝60°.∴∠A＝30°.∴∠AEC＝∠FEP＝60°.∴∠FPE＝∠FEP＝60°.∴△FPE是等边三角形．∵PD∥AB，∴PD⊥EF.∴FD＝ED.03数学文化、核心素养专练22．“割圆术”是求圆周率的一种算法，公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．请问上述著名数学家为(A)A．刘徽B．祖冲之9C．杨辉D．秦九昭23．如图，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、a为半径画弧，求图中阴影面积．阴影部分是两个扇形(扇形正好是四分之一个圆)相交的部分，阴影的面积不能直接算，可用面积相减的方法求出，这体现了一种数学思想，该数学思想是(C)A．整体思想B．分类讨论思想C．转化思想D．数形结合思想24．(山西一模)阅读与思考：婆罗摩笈多(Brahmagupta)是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍．他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理．该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN＝DN.证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∠BPM＋∠MBP＝90°.∴∠BAP＝∠BPM.∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，∴……(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分；10(2)已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.点D在⊙O上，∠BCD＝60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为1．解：(1)证明：∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，∴∠DPN＝∠PDN.∴DN＝PN.同理：CN＝PN.∴CN＝DN.(2)∵∠ACB＝45°，∠BCD＝60°，∴∠ACD＝45°＋60°＝105°.又∵∠D＝∠B＝30°，∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠D＝45°.∴∠APC＝180°－45°－45°＝90°，△APC是等腰直角三角形．∴PA＝PC，∠CPD＝90°.在△CPD和△APB中，∠CPD＝∠APB，∠D＝∠B，PC＝PA，∴△CPD≌△APB(AAS)．∴CD＝AB＝2.∵∠CPD＝90°，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，∴同(1)得：CN＝DN.∴PN＝12CD＝1.