2018-2019学年九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程教案 （

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.2.3用公式法求解一元二次方程教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导；2．会用求根公式解一元二次方程.(二)能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．教学重点一元二次方程的求根公式教学难点求根公式的条件：b2-4ac≥0教学方法讲练相结合教具准备投影片五张第一张：复习练习第二张：试一试第三张：小亮的推导过程第四张：求根公式第五张：例题教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入课题[师]我们前面学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．1．用配方法解方程2x2-7x+3＝0．[生甲]解：2x2-7x+3＝0，两边都除以2，得x227-x+23＝0．移项，得；x2-27x=-23．2配方，得x2-27x+(-47)2＝-23+(-47)2．两边分别开平方，得x-47＝±45即x-47=45或x-47=-45．∴x1=3，x2=21．[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．试一试，肯定行：1．用配方法解下列关于x的方程：(1)x2+ax＝1；(2)x2+2bx+4ac＝0．[生乙](1)解x2+ax＝1，配方得x2+ax+(2a)2＝1+(2a)2，(x+2a)2=442a．两边都开平方，得x+2a＝±242a，即x+2a＝242a，x+2a=-242a.∴x1=242aa，x2＝242aa[生丙](2)解x2-2bx+4ac＝0，移项，得x2+2bx＝-4ac．配方，得x2-2bx+b2＝-4ac+b2，(x+b)2=b2-4ac．两边同时开平方，得x+b＝±acb42，即x+b＝acb42，x+b＝-acb42∴x1=-b+acb42，x2＝-b-acb42[生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2＝b2-4ac．根据平方根3的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b2-4ac≥0时，才可以用开平方法解出x来．所以，在这里应该加一个条件：b2-4ac≥0．[师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗?[生齐声]戊同学说得正确．因为负数没有平方根，所以，解方程x2+2bx+4ac＝0时，必须有条件：b2-4ac≥0，才有丁同学求出的解．否则，这个方程就没有实数解．[师]同学们理解得很正确，那解方程x2+ax＝1时用不用加条件呢?[生齐声]不用．[师]那为什么呢?[生齐声]因为把方程x2+ax＝1配方变形为(x+2a)2=442a，右边442a就是一个正数，所以就不必加条件了．[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．Ⅱ．讲授新课[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢?大家可参照解方程2x2-7x+3＝0的步骤进行．[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得x2+acxab=0．[生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，需要说明a≠0．[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，必须说明a≠0．好，接下来该如何呢?[生丙]移项，得x2+acxab配方，得x2+22)2()2(abacabxab,(x+22244)2aacbab.[师]这时，可以直接开平方求解吗?4[生丁]不，还需要讨论．因为a≠0，所以4a20．当b2-4ac≥0时，就可以开平方．[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2244aacb≥0．因为4a20恒成立，所以只需b2-4ac是非负数即可．因此，方程(x+ab2)2＝2244aacb的两边同时开方，得x+ab2=±2244aacb.大家来想一想，讨论讨论：±2244aacb=±aacb242吗?……[师]当b2-4ac≥0时，x+ab2=±2244aacb=±||242aacb因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a0还是a0，都不影响最终的结果：±aacb242所以x+ab2=±aacb242,x=-ab2±aacb242=aacbb242好，我们来看小亮的推导过程．ax2+bx+c=0(a≠0)x2+acxab=0x2+2222244)2(22aacbabxabacabxabx=aacbb242a两边都除以配方如果042acb5这样，我们就得到一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac≥0)，即一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是x=aacbb242[师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solvingbyformular)由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．(2)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号．接下来，我们来看一例题．[例题]解方程x2-7x-18＝0．分析：要求方程x2-7x-18＝0的解，需先确定a、b、c的值．注意a、b、c带有符号．解：这里a＝1，b＝-7，c＝-18．∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)＝121＞0，∴x=2117121217,却x1＝9，x2＝-2．[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．[师生共析]其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出aacbb242的值，最后写出方程的根．[师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．Ⅲ．课堂练习Ⅳ．课时小结这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．6(1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用．对于a≠0，b2-4ac≥0以及由a≠0，知4a20等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．Ⅴ．课后作业Ⅵ．活动与探究1．阅读材料，解答问题：阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4＝0，我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设x2-1＝y，则(x2-1)2＝y2，原方程化为y2-5y+4=0．①解得y1=4，y2＝1．当y1＝4时，x2-1＝4，∴x2＝5，∴x=±5．当y＝1时，x2-1＝1，∴x2＝2，∴x=±2．∴原方程的解为x1＝2，x2＝-2，x3=5，x4=-5.解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想．(2)解方程x4-x2-6＝0．[过程]通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解决问题的能力．[结果]解：(1)换元转化(2)设x2＝y，则x4=y2，原方程可以化为y2-y-6＝0．解得y1=3，y2＝-2．当y1=3时，x2＝3，∴x＝±3．当y2＝-2时，x2=-2，此方程无实根．∴原方程的解为x1＝3，x2＝-3．7板书设计§2．3公式法一、解：2x2-7x+3＝0，两边都除以2，得x2-2327x=0．移项，得x2-2327x.配方，得x2-,)47(23)47(2722x(x-1625)472x.两边分别开平方，得x-4547,即x-4547或x-4547.∴x1=3，x2=21．二、求根公式的推导三、课堂练习四、课时小结五、课后作业