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1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.2.4用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（本题包括8个小题.每小题只有1个选项符合题意）1.如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A.6B.9C.6或9D.以上都不正确2.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A.7B.10C.11D.10或113.解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A.开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法4.若分式的值为0，则x的值为（）A.3或﹣2B.3C.﹣2D.﹣3或25.已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A.1B.﹣3C.﹣3或1D.﹣1或36.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A.14B.12C.12或14D.以上都不对7.一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A.x=B.x=3C.x1=3，x2=﹣D.x1=3，x2=8.已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A.方程一定有两个不相等的实数根B.方程一定有两个实数根C.当k取某些值时，方程没有实数根D.方程一定有实数根二．填空题（本题包括5个小题）9.方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．10.若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=_____．11.如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是_____．12.关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为_____．13.对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=_____．三．解答题（本题包括5个小题）14.解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．215.解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0；（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0（公式法）；（4）x2=6x+16；（5）2x2﹣7x﹣18=0；（6）（2x﹣1）（x+3）=4．16.用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）（y+）（y-）=20．17.阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．3设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．18.现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．4答案一．选择题1.【答案】B【解析】解方程得：，（1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+14，∴此时围不成三角形，此种情况不成立；（2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+44，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9；故选B.2.【答案】D【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选D．3.【答案】D【解析】方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即5（2x-1）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D．考点：解一元二次方程-因式分解法．4.【答案】A【解析】由题意可得：，解得：.∵当时，，当时，，∴的值为3或-2.故选A.5.【答案】A【解析】设x2+x+1=y，则原式可化为y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1.∵22131024xxx，∴x2+x+1=1.故选A.6.【答案】B【解析】解，得(x-5)(x-7)=0，∴x1=5,x2=7.又∵3,4,7不能组成三角形；∴x=5.则周长为3+4+5=12，故选B考点：一元二次方程的解7.【答案】D【解析】2x（x－3）＝5（x－3），2x（x－3）-5（x－3）=0，,（x－3）（2x－5）=0，所以x－3=0，或2x－5=0，所以x1＝3，x2＝，故选：D．考点：解一元二次方程．8.【答案】D【解析】原方程可化为：，（1）当时，原方程可化为：，此时原方程是一元一次方程，有实数根；（2）当时，原方程是一元二次方程，此时：5△=，∴此时，原方程有两个实数根；综上所述，无论k为何值，原方程都有实数根.故选D.二．填空题9.【答案】1或【解析】原方程可化为为：，∴或，∴或.10.【答案】6【解析】设a=x2+y2，则原方程可化为a2-5a-6=0，解得a1=6，a2=-1（舍去），所以x2+y2=6.11.【答案】3【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴.12.【答案】x1=4，x2=﹣1【解析】∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得：，∴原方程为：，化简得：，解得：.∴原方程的解为：.13.【答案】4【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴.点睛：在解出“x”的值之后，不要忽略了“”这一隐含条件.三．解答题14.【答案】①x1=1+，x2=1﹣②x1=1，x2=﹣③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1【解析】①②按题中指定方法解答即可；③先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可；④根据方程特点用“因式分解法”解方程即可.解：①移项得：x2﹣2x=配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，∴x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．②∵在方程4x2﹣3x﹣1=0中，a=4，b=﹣3，c=﹣1，∴△=9+16=25x=，∴x1=1，x2=﹣．6③原方程整理得：x2+2x﹣8=0，(x+4)(x﹣2)=0，∴x1=﹣4，x2=2．④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0，(5y﹣5)(y+1)=0，∴y1=1，y2=﹣1．15.【答案】（1）y1=﹣，y2=﹣；（2）x1=3，x2=；（3）x1=2.5，x2=1；（4）x1=﹣2，x2=8（5）x=；（6）x1=﹣3.5，x2=1．【解析】（1）用“直接开平方法”解此方程即可；（2）、（3）按指定方法解方程即可；（4）先将方程化为一般形式，再用“因式分解法”解此方程：（5）用“公式法”解此方程即可；（6）先整理为一般形式，再用“因式分解法”解此方程.解：（1）方程可化为：（y+4）2=，开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=3，x2=；（3）∵在方程2x2﹣7x+5=0中，a=2，b=﹣7，c=5，∴△=49﹣40=9，∴x=，解得：x1=2.5，x2=1；（4）原方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即(x+2)(x﹣8)=0，解得：x1=﹣2，x2=8；（5）∵在方程2x2﹣7x﹣18=0中，a=2，b=﹣7，c=﹣18，∵△=49+144=193，∴x=；7∴，.（6）原方程整理得：2x2+5x﹣7=0，即(2x+7)(x﹣1)=0，解得：x1=﹣3.5，x2=1．16.【答案】（1）x1=6，x2=﹣1（2）x1=﹣，x2=（3）x1=﹣2，x2=（4）y1=5，y2=﹣5【解析】（1）用“因式分解法”解方程即可；（2）用“直接开平方法”解方程即可；（3）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（4）先化简，再用“直接开平方法”解方程即可；解：（1）x2﹣5x﹣6=0，原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0，∴x-6=0或x+1=0，∴x1=6，x2=﹣1．（2）原方程可化为：（1﹣x）2=+1，即：（1﹣x）2=，∴1﹣x=，∴x1=﹣，x2=．（3）原方程可化为：8x（x+2）﹣3（x+2）=0，∴(x+2)(8x﹣3)=0，∴x+2=0或8x-3=0解得x1=﹣2，x2=．（4）原方程可化为：y2﹣5=20，∴y2=25，∴y=±5，即y1=5，y2=﹣5．17.【答案】（1）x1=0，x2=﹣2，x3=2（2）x1=﹣1，x2=3【解析】（1）把原方程化为：|x|2﹣2|x|=0，再按照“范例”中的方法解答即可；（2）把原方程化为：|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0，再按照“范例”中的方法解答即可.解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，设|x|=y，则y2﹣2y=0．解得y1=0，y2=2．当y=0时，|x|=0，∴x=0；当y=2时，∴x=±2；8∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得y1=y2=2．即|x﹣1|=2，∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．20.【答案】（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a=【解析】（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可；（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；（3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可.解：（1）4※7=4×4×7=112；（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，解得x1=2，x2=﹣4；（3）∵由新运算的定义得4ax=x，∴（4a﹣1）x=0，∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，即．点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可.