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1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.2.6应用一元二次方程一、选择题（本题包括10个小题.每小题只有1个选项符合题意）1.一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是()A.6B.3C.4D.122.如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，由题意可列方程()A.2x·x＝24B.(10－2x)(8－x)＝24C.(10－x)(8－2x)＝24D.(10－2x)(8－x)＝483.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为()A.20B.40C.100D.1204.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是()A.7mB.8mC.9mD.10m5.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为()A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm6.在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手45次，则参加这次聚会的同学共有（）A.11人B.10人C.9人D.8人7.小明家承包的果园，前年水果产量为50吨，后来改进了种植技术，今年的总产量是60.5吨，小明家去年，今年平均每年的粮食产量增长率是（）A.5%B.10%C.15%D.20%28.已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（）A.k=16B.k=25C.k=-16或k=-25D.k=16或k=259.汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是s=15t-6t2，那么汽车刹车后几秒停下来？（）A.0B.1.25C.2.5D.310.某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（）A.15%B.20%C.5%D.25%二、填空题（本题包括5个小题）11.如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．(1)请找出上述问题中的等量关系：________________________________；(2)若设大矩形空地的宽为xm，可列出的方程为______________________________，方程的解为________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为____________．12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2.13.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2100元。14.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是________%。15.某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x=________。3三、解答题（本题包括4个小题）16.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据第一题所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．17.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月平均增长率；18.如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是1∶2，其中小正六边形的边长为(x2－4)cm，大正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x＞0)．求这根铁丝的总长．19.在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．(1)求每张门票的原定票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.4答案一、选择题1.【答案】A【解析】(x－2)(x－4)＝0，解得x1=2，x2=4．2+3=5，2,3,5不能组成三角形；所以3,4,5组成三角形，3,4,5是勾股数，所以三角形面积是6.所以选A.2.【答案】D【解析】设x秒后，螳螂走了2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,由题意知(10－2x)(8－x)＝24,(10－2x)(8－x)＝48,选D.3.【答案】D【解析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2-x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2-x）=a，整理得x2-20x+a=0，由△=400-4a≥0，求出a≤100，即可求解．设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2-x）cm，依题意，得x（40÷2-x）=a，整理，得x2-20x+a=0.∵△=400-4a≥0，解得a≤100，故选D．4.【答案】A【解析】本题主要考查一元二次方程，设原正方形空地的边长为m，则剩余的面积可以表示为，即，解得（不符合题意）.所以原正方形的边长为7m，故选A.5.【答案】D【解析】设原铁皮的边长为xcm，则(x－6)(x－6)×3=300，解得：x=16或x=－4(舍去)，即原铁皮的边长为16cm.考点：一元二次方程的应用6.【答案】B【解析】设参加聚会的同学有x人，由题意，得1452xx，解得x=10或x=-9（不符合题意，舍去）即参加聚会的同学有10人，故选B.7.【答案】A【解析】设小明家去年、今年的平均每年的粮食产量增长率是x，由题意，得50(1+x)²=60.5，解得：x₁=0.1=10%,x₂=−2.1(舍去)。故选B.8.【答案】A【解析】根据当BC是腰，则AB或AC有一个是8，进而得出k的值，再利用当BC是底，则AB和AC是腰，再利用根的判别式求出即可．当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故82-10×8+k=0，解得：5k=-16，当BC是底，则AB和AC是腰，则b2-4ac=102-4×1×k=100-4k=0，解得：k=-25，综上所述：k=-16或k=-25．故选：C．考点:一元二次方程的应用．9.【答案】B【解析】∵s=15t−6t²=−6(t−1.25)²+9.375，∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来.故选：B.10.【答案】B【解析】如果设平均每月降低率为x，根据题意可得250（1﹣x）2=160，解得：x=20%．故选B．考点：一元二次方程．二、填空题11.【答案】(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积;(2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312,x＝14或x＝－11(宽应为正数，故舍去)28m、14m【解析】（1）原矩形面积－小路面积＝草坪面积.（2）利用关系式列方程,并解方程.(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积.(2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312，x＝14或x＝－11(宽应为正数，故舍去),所以，原来长宽是28m、14m.点睛：一元二次方程与面积问题，可以把四个小面积合而为一，相当于宽变成x-2,长变成2x-2,所以面积是（x-2）(2x-2)=312，运算更简单.12.【答案】2或4【解析】设x秒时．由三角形的面积公式列出关于x的方程，（6-x）•2x=8，通过解方程求得x1=2，x2=4；故答案为2或4.13.【答案】20【解析】∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20．14.【答案】10【解析】7000(1-x)2=5670,解得1-x=0.9,x1=0.1,x2=1.9(舍去)则11、12两月平均每月降价的百分率是10%.点睛：平均增长（降低）率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b,a为起始时间的有关数量，6b为终止时间的有关数量．15.【答案】20%【解析】根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x．依题意，有：100（1+x）2=144，1+x=±1．2，解得：x=20%或-2．2（舍去）．考点：一元二次方程的应用．三、解答题16.【答案】(1)10%;(2)3327.5万元【解析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）（1+x）万元．则2500（1+x）（1+x）=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．17.【答案】10%【解析】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可.解:设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x=0.1，或x=-2.2（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；18.【答案】216cm【解析】利用边的比例关系列方程，解方程.解：由题意，得2(x2－4)＝x2＋2x，整理，得x2－2x－8＝0.解得x1＝4，x2＝－2(舍去)．∴x2－4＝12，x2＋2x＝24.则铁丝长为12×6＋24×6＝216(cm)．19.【答案】（1）400元；（2）10%【解析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均7每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据题意得，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1-y）2=324，解得：y1=0.1，y