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11.3不共线三点确定二次函数的表达式知|识|目|标1．通过回顾用待定系数法求一次函数的表达式，能根据不共线的三点确定二次函数的表达式．2．审清题意，能根据题意选择适当的方法求二次函数表达式．目标一利用待定系数法求过三点的二次函数的表达式例1教材例1针对训练已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的表达式，并写出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【归纳总结】待定系数法求二次函数表达式的步骤：(1)设：根据条件设函数表达式；(2)列：把已知点的坐标代入表达式，得到方程或方程组；(3)解：解方程或方程组；(4)答：写出函数表达式．目标二能选择合适的方法求二次函数表达式例2高频考题已知某抛物线的顶点坐标为(－2，1)，且与y轴交于点(0，4)，则这条抛物线所表示的二次函数的表达式是________．例3教材例2针对训练已知一条抛物线经过E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，选择其中两点，能用待定系数法求出抛物线的函数表达式的为()A．E，FB．E，GC．E，HD．F，G【归纳总结】二次函数表达式的类型及适用情况：表达式类型表达式适用情况一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)已知图象上任意三个点的坐标顶点式y＝ax2(a≠0)已知图象的顶点坐标为(0，0)，又知另一个点的坐标y＝ax2＋k(a≠0)已知图象的顶点坐标为(0，k)，又知另一个点的坐标y＝a(x－h)2(a≠0)已知图象的顶点坐标为(h，0)，又知另一个点的坐标y＝a(x－h)2＋k(a≠0)已知图象的顶点坐标为(h，k)，又知另一个点的坐标(续表)表达式表达式适用情况2类型交点式y＝a(x－x1)(x－x2)已知图象与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，又知另一个点的坐标知识点用待定系数法求二次函数的表达式在利用待定系数法求二次函数的表达式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出表达式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，列三元一次方程组求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式求解；当已知抛物线与x轴的两个交点时，可设其表达式为交点式求解．1．思考：能否找到过点(－1，0)，(0，1)，(1，2)的抛物线？为什么？2．已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴的交点坐标为(0，－5)，求抛物线的函数表达式．解：∵抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，∴设函数表达式为y＝a(x－1)2－3，将(0，－5)代入，得a－3＝－5，解得a＝－2，则抛物线的函数表达式为y＝－2(x－1)2－3＝－2x2＋4x－5.即抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋4x－5.上述解答过程是否正确？若不正确，应该如何改正？3教师详解详析【目标突破】例1[解析]设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把已知三点代入得关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，再运用配方法或顶点坐标公式求其图象的对称轴和顶点坐标．解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得a－b＋c＝－6，a＋b＋c＝－2，4a＋2b＋c＝3，解得a＝1，b＝2，c＝－5.∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5.∵y＝x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，∴它的图象的开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－6)．例2[答案]y＝34(x＋2)2＋1[解析]设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋2)2＋1，把(0，4)代入，得4＝4a＋1，即a＝34，则抛物线的函数表达式为y＝34(x＋2)2＋1，故答案为y＝34(x＋2)2＋1.例3C【总结反思】[反思]1．不能.理由：假设过这三点的抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.根据抛物线过点(－1，0)，(0，1)，(1，2)，得a－b＋c＝0，c＝1，a＋b＋c＝2，解得a＝0，b＝1，c＝1.因为a＝0，所以得到的函数为一次函数，所以不存在过这三点的抛物线．2．解答过程有错误．改正：∵抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，∴设函数表达式为y＝a(x＋1)2－3，将(0，－5)代入，得a－3＝－5，解得a＝－2，则抛物线的函数表达式为y＝－2(x＋1)2－3＝－2x2－4x－5.即抛物线的函数表达式为y＝－2x2－4x－5.