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11.4二次函数与一元二次方程的联系知|识|目|标1．通过回顾一元二次方程的判别式与根的关系，理解二次函数图象与x轴交点的个数可以通过一元二次方程的判别式判别．2．通过列表或电脑作图，能用图象法读取或求取一元二次方程的近似根或确定根的取值范围．3．利用数形结合，能根据自变量(函数值)的取值范围确定函数值(自变量)的取值范围．目标一掌握抛物线与x轴的交点情况和一元二次方程的根的关系例1教材“探究”拓展已知(m，0)，(n，0)是抛物线y＝x2－2(a－1)x＋a2－1与x轴的两个不同的交点．(1)求a的取值范围；(2)若(m－1)(n－1)＝10，求a的值．【归纳总结】用根的判别式判断二次函数图象与x轴的交点情况：(1)抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，Δ＝b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点两个交点的坐标为－b＋b2－4ac2a，0与－b－b2－4ac2a，0；②当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有两个重合的交点[这个交点即为顶点，坐标为－b2a，0]；③当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点(0个交点)．(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点的条件是b2－4ac≥0.(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点在x轴上的条件是b2－4ac＝0.目标二能用图象法求一元二次方程的近似解例2教材例题变式求一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解(精确到0.1)．【归纳总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤：(1)将方程转化为函数，即将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)转化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)画出函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；(3)找出二次函数图象与x轴交点的横坐标(不是整数的取近似值)，即可得到一元二次方程的2近似根．目标三能根据函数值(或取值范围)，求对应的自变量的值(或取值范围)例3教材补充例题二次函数的部分图象如图1－4－1所示，回答下列问题：(1)当x取什么值时，y＞0?(2)当x取什么值时，y随x的增大而减小？(3)当x取什么值时，y＜3?图1－4－1【归纳总结】已知函数值(或取值范围)，求对应的自变量的值(或取值范围)：(1)解决此类题的基本思想：已知函数y的值，将二次函数转化为一元二次方程求对应的x的值，将二次函数图象与一元二次方程联系起来．(2)常见的求自变量取值范围的种类：抛物线与直线相交图象交点的横坐标抛物线y＝ax2＋bx＋c(其中a＞0)与x轴相交交点的横坐标分别为p，q当x＜p或x＞q时，y＞0；当p＜x＜q时，y＜0抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与直线y＝m相交当x＜p或x＞q时，y＞m；当p＜x＜q时，y＜m抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a＞0)与直线y2＝kx＋n相交当x＜p或x＞q时，y1＞y2；当p＜x＜q时，y1＜y2知识点一二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标3抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标即为一元二次方程________________的根．知识点二二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数之间的关系(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根(即Δ0)⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有__________交点；(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根(即Δ＝0)⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有__________交点；(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根(即Δ0)⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴______交点．知识点三利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤如下．(1)作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与直线y＝h的交点的位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的根或根的取值范围．[点拨](1)利用图象法解方程是将“数”的问题转化为“形”来解决，体现了数形结合的思想；(2)图象越准确，所得的方程的解越精准；(3)同一个一元二次方程可以作出不同的二次函数的图象求近似解，比如当a≠0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解可以通过作二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象求解，也可以通过作函数y＝ax2与y＝－bx－c的图象求解，或者通过作函数y＝ax2＋c与y＝－bx的图象求解．知识点四已知二次函数的值，通过一元二次方程求对应的自变量的值将二次函数的值代入y＝ax2＋bx＋c中，先化简，然后解关于x的一元二次方程，求出对应的x的值．已知抛物线y＝x2＋mx＋m－1与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且与y轴的负半轴相交．若x12＋x22＋x1x2＝7，求m的值．解：由题意，可知x1，x2是一元二次方程x2＋mx＋m－1＝0的两个根，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m－1.∵x12＋x22＋x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－x1x2＝7，即m2－m＋1＝7，解得m1＝3，m2＝－2.∴m的值为3或－2.指出以上解题过程中存在的错误，并改正．4教师详解详析【目标突破】例1解：(1)令x2－2(a－1)x＋a2－1＝0，由题意知Δ＝4(a－1)2－4(a2－1)＞0，解得a＜1.(2)∵(m，0)，(n，0)是抛物线y＝x2－2(a－1)x＋a2－1与x轴的两个不同交点，∴m，n为方程x2－2(a－1)x＋a2－1＝0的两个根，∴m＋n＝2(a－1)＝2a－2，mn＝a2－1.∵(m－1)(n－1)＝10，即mn－(m＋n)＋1＝10，∴a2－1－(2a－2)＋1＝a2－2a＋2＝10，解得a＝－2或a＝4(大于1，舍去)，∴a的值是－2.例2[解析]方程x2＋2x－10＝0的解可以看成抛物线y＝x2＋2x－10与x轴交点的横坐标．因此应先画出函数y＝x2＋2x－10的图象，由图象与x轴的交点的位置确定两根的取值范围，利用计算器求得根的近似值．解：画出函数y＝x2＋2x－10的图象如图．由图象，知方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个根在－4与－5之间，另一个根在2和3之间．先求－4和－5之间的根，利用计算器进行探索：x－4.1－4.2－4.3－4.4y－1.39－0.76－0.110.56因此，x1≈－4.3是方程的一个精确到0.1的近似解．同理，可求得另一个精确到0.1的近似解为x2≈2.3.例3解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－3，0)．补全图象如图．由函数图象，可知当－3＜x＜1时，函数图象在x轴的上方，∴当－3＜x＜1时，y＞0.(2)由函数图象，可知当x＞－1时，y随x的增大而减小．(3)由对称性，可知抛物线经过点(－2，3)，当y＜3时，图象在直线y＝3的下方，此时对应的自变量x的取值范围是x＜－2或x＞0.5备选目标二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用例已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标；(2)画出函数y＝ax2＋bx＋c(x0)的图象；(3)利用抛物线y＝ax2＋bx＋c，写出当x为何值时，y0.[解析](1)观察图象，知A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)，利用待定系数法即可求出其表达式；(2)画图象时，要注意先求出图象与x轴的交点；(3)先观察图象，再根据图象与x轴的交点坐标写出x的取值范围．解：(1)由图象，知点A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)在二次函数的图象上，所以2＝c，0＝16a＋4b＋c，－3＝25a＋5b＋c，解得a＝－12，b＝32，c＝2.所以抛物线的函数表达式为y＝－12x2＋32x＋2，顶点坐标为32，258.(2)利用抛物线的对称性或解方程－12x2＋32x＋2＝0，易求得抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．所画图象如图所示．(3)若y0，则纵坐标为正，即抛物线在x轴上方，所以当－1x4时，y0.【总结反思】[小结]知识点一ax2＋bx＋c＝0知识点二(1)两个不同的(2)两个重合的(3)没有[反思]本题错在未根据题意对m的值进行取舍．改正如下：∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴m－1＜0.6当m＝3时，m－1＝2＞0，不符合题意，舍去；当m＝－2时，m－1＝－3＜0，符合题意．∴m的值为－2.