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1专题训练(一)二次函数与几何小综合一、二次函数与三角形的结合1．如图1－ZT－1，已知抛物线y＝38x2－34x－3与x轴的交点为A，D(点A在点D的右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出A，D，C三点的坐标；(2)若点M(点M不与点C重合)在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标．图1－ZT－12．如图1－ZT－2所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(3，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为P，求△CPB的面积．图1－ZT－223．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝－x2＋(k－1)x＋4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB＝6.(1)求点A与点B的坐标；(2)求此二次函数的表达式；(3)如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．二、二次函数与平行四边形的结合4．如图1－ZT－3，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的函数表达式．图1－ZT－3三、二次函数与矩形、菱形、正方形的结合5．如图1－ZT－4所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过B，C两点，D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.(1)求此抛物线的函数表达式；(2)求此抛物线的顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．图1－ZT－436．2018·金华如图1－ZT－5，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的AB边在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有G，H两个交点，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．图1－ZT－5四、二次函数与平移的结合7．如图1－ZT－6①，在平面直角坐标系中有等腰直角三角形ABO，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，OC与y轴正半轴所夹的角为45°，射线OC以每秒2个单位的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动．设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式．(2)当x＝3时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于点G，如图1－ZT－6②所示，求经过G，O，B三点的抛物线的函数表达式．(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S＝8的情况？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1－ZT－64教师详解详析1．解：(1)A(4，0)，D(－2，0)，C(0，－3)．(2)∵S△CAD＝12AD·OC，S△MAD＝12AD·|yM|，∴当S△CAD＝S△MAD时，12AD·OC＝12AD·|yM|，即12×6×3＝12×6×|yM|，解得yM＝±3，即38x2－34x－3＝±3，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)，x3＝1＋17，x4＝1－17，∴点M的坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)．2．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)与点B(3，0)，∴1－b＋c＝8，9＋3b＋c＝0，解得b＝－4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3.(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)．过点P作PH⊥y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴交直线BM于点N，如图所示．S△CPB＝S矩形CHMN－S△CHP－S△PMB－S△CNB＝3×4－12×2×4－12×1×1－12×3×3＝3，即△CPB的面积为3.3．解：(1)由表达式，可知点A的坐标为(0，4)．∵S△OAB＝12OB·OA＝12×4·OB＝6，∴OB＝3.∴点B的坐标为(－3，0)．(2)把B(－3，0)代入y＝－x2＋(k－1)x＋4，得－(－3)2＋(k－1)×(－3)＋4＝0.解得k－1＝－53.∴所求二次函数的表达式为y＝－x2－53x＋4.(3)∵△ABP是等腰三角形，∴有三种情况：①当AB＝AP时，点P的坐标为(3，0)；②当AB＝BP时，点P的坐标为(2，0)或(－8，0)；5③当AP＝BP时，设点P的坐标为(x，0)．根据题意，得x2＋42＝||x＋3，解得x＝76，∴点P的坐标为(76，0)．综上所述，点P的坐标为(3，0)，(2，0)，(－8，0)或(76，0)．4．解：由已知，得点C(5，4)．把A(－2，0)，D(0，4)，C(5，4)代入抛物线的函数表达式y＝ax2＋bx＋c，得0＝4a－2b＋c，4＝c，4＝25a＋5b＋c，解得a＝－27，b＝107，c＝4.所以抛物线的函数表达式为y＝－27x2＋107x＋4.5．解：(1)由已知，得C(0，4)，B(4，4)，把点B与点C的坐标代入y＝－12x2＋bx＋c，得4b＋c＝12，c＝4，解得b＝2，c＝4，∴抛物线的函数表达式为y＝－12x2＋2x＋4.(2)∵y＝－12x2＋2x＋4＝－12(x－2)2＋6，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，6)，则S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝12×4×4＋12×4×2＝8＋4＝12.6．解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax(x－10)．∵当t＝2时，AD＝4，∴点D的坐标是(2，4)．∴4＝a×2×(2－10)，解得a＝－14.∴抛物线的函数表达式为y＝－14x2＋52x.(2)由抛物线的对称性，得BE＝OA＝t，∴AB＝10－2t.当x＝t时，y＝－14t2＋52t.∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t2＋52t)]＝－12t2＋t＋20＝－12(t－1)2＋412.6∵－12＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是412.(3)当t＝2时，点A，B，C，D的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)．∴矩形ABCD的对角线交于点P(5，2)．当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为(4，4)，此时GH不能将矩形的面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为(6，0)，此时GH也不能将矩形的面积平分．∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不能将矩形的面积平分．∴当点G，H分别落在线段AB，DC上，且直线GH过点P时，能平分矩形ABCD的面积．∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到线段GH.∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P.在△OBD中，PQ是中位线，∴PQ＝12OB＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位．7．解：(1)由题意，可知射线OC扫过Rt△ABO的部分为等腰直角三角形，斜边长为2x，则斜边上的高为12×2x＝x，∴y＝12×2x×x＝x2(0≤x≤4)．(2)过点G作GD⊥OB，垂足为D，则在等腰直角三角形OO′G中，GD也是斜边OO′上的中线．∵OO′＝3×2＝6，∴GD＝OD＝12OO′＝3，∴点O′，G的坐标分别为(6，0)，(3，3)．由抛物线经过点O(0，0)，B(8，0)，可设其表达式为y＝ax(x－8)．把G(3，3)代入表达式，得a×3×(3－8)＝3，解得a＝－15.∴抛物线的函数表达式为y＝－15x(x－8)，即y＝－15x2＋85x.(3)存在．设符合条件的点P的坐标为(x，y)，则S＝12×8·||y＝8，解得y＝±2.当y＝2时，由－15x2＋85x＝2，7解得x＝4±6；当y＝－2时，由－15x2＋85x＝－2，解得x＝4±26.∴符合条件的点P的坐标为(4＋6，2)或(4－6，2)或(4＋26，－2)或(4－26，－2)．