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126．2二次函数的图象与性质1．二次函数y＝ax2的图象与性质知|识|目|标1．根据画一次函数图象的步骤，能够用描点法作出二次函数y＝ax2的图象．2．通过对比几个二次函数图象的共同点和不同点，理解二次函数的性质，并能根据其性质解决问题．目标一会画二次函数y＝ax2的图象例1教材补充例题画二次函数y＝－12x2的图象．【归纳总结】1．画二次函数y＝ax2的图象的步骤：用描点法画二次函数的图象分三步：列表、描点、连线．列表：根据二次函数的关系式用表格的形式列出部分点的坐标；描点：把表格中坐标对应的点描到平面直角坐标系内；连线：用光滑的曲线顺次连结各点．2．画二次函数y＝ax2的图象的四点技巧：(1)二次函数的图象是轴对称图形，列表时先找到函数图象的对称轴，然后在对称轴两侧对称地取自变量的值；(2)列好表后，观察表中各点在坐标系中对应的大致位置，根据需要画出平面直角坐标系；(3)因为二次函数的自变量的取值是一切实数，所以二次函数图象的两端是无限延伸的；(4)点取得越多，图象越精确，图象必须光滑，顶点不能画成尖的，当描出的相邻两点相距较远时，可先用线段连结这两点，再把此段图象修成光滑的曲线．目标二能理解二次函数y＝ax2的性质例2教材补充例题已知二次函数y＝2x2和y＝－2x2的图象如图26－2－1所示，根据图象回答下列问题：(1)指出①的函数关系式是什么，②的函数关系式是什么；(2)写出函数y＝2x2和y＝－2x2的图象的对称轴、顶点坐标及对称轴左、右两边y随x的变化情况；(3)二次函数y＝2x2和y＝－2x2何时取得最大值或最小值？图26－2－12例3高频考题下列说法中错误的是()A．在函数y＝－x2中，当x＝0时，y有最大值B．在函数y＝2x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大C．在抛物线y＝ax2中，若抛物线的开口向下，则a＞0D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是原点【归纳总结】二次函数y＝ax2的图象与性质的应用：二次函数的图象与性质一般包括图象的开口方向和对称性、函数值的变化情况以及最值．运用二次函数的图象与性质解题需注意以下两点：(1)在二次函数y＝ax2中，a的符号决定图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况，反过来，由图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况可以确定a的符号；(2)利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图象的直观性解决问题．知识点一二次函数y＝ax2的图象二次函数y＝ax2的图象是一条________，它是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的________．[点拨]当自变量是全体实数时，抛物线是向上或向下无限伸展的．知识点二二次函数y＝ax2的图象与性质二次函数a的符号图象图象的开口方向图象的顶点坐标图象的对称轴函数值y随x的变化情况最值y＝ax2a0____(0，0)____当x0时，函数值y随x的增大而________；当x0时，函数值y随x的增大而________图象有最______点，当x＝0时，y最小值＝0a0____(0，0)____当x0时，函数值y随x的增大而________；当x0时，函数值y随x的增大而________图象有最____点，当x＝0时，y最大值＝01.注意：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．2．二次函数的函数值y随x的变化情况要以对称轴为界分左右两部分分别描述．晓明用描点法作函数y＝x2的图象，过程如下：解：列表如下：x－2－10123y＝x241014描点、连线，如图26－2－2所示．图26－2－2晓明的解答正确吗？如果不正确，存在哪些问题？请你写出正确的解答过程．4教师详解详析【目标突破】例1[解析]二次函数y＝－12x2的图象是轴对称图形，顶点坐标是(0，0)，所以列表时从x＝0往两边取适当的自变量的值，并计算对应的函数值，再把相应的点描到平面直角坐标系中，然后用光滑的曲线顺次连结各点．解：列表：x…－3－2－10123…y…－4.5－2－0.50－0.5－2－4.5…在平面直角坐标系中描点、连线，得到二次函数y＝－12x2的图象，如图所示．例2解：观察图象可以看出：(1)①的函数关系式是y＝2x2，②的函数关系式是y＝－2x2.(2)函数y＝2x2的图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大．函数y＝－2x2的图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小．(3)二次函数y＝2x2，当x＝0时，y取得最小值0；二次函数y＝－2x2，当x＝0时，y取得最大值0.例3[答案]C备选目标二次函数的图象与性质的应用例已知二次函数y＝2x2.(1)点A(1，a)，B(－2，b)均在二次函数y＝2x2的图象上，比较a，b的大小；(2)M，N是二次函数y＝2x2的图象上的点，它们的横坐标分别为2和12，在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小．[解析](1)根据点A，B均在函数y＝2x2的图象上，将横坐标分别代入关系式，求出纵坐标a，b的值，再比较大小，也可以利用图象进行比较，还可以利用函数值的变化情况比较其大小．(2)求出点M，N的坐标，再作点M关于y轴的对称点M′，连结NM′，与y轴的交点即为点P.解：(1)方法一：通过计算得a＝2，b＝8，故a＜b.方法二：画出函数y＝2x2的图象，如图①，并把点A，B描于图上，可得a＜b.5方法三：点B(－2，b)与点B′(2，b)关于y轴对称，点A与点B′均在对称轴的右侧．因为在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大，且12，故a＜b.(2)易得点M，N的坐标分别为(2，8)，12，12.作点M关于y轴的对称点M′，则M′(－2，8)，连结NM′，与y轴的交点即为点P，如图②所示．设NM′所在直线对应的函数关系式为y＝kx＋n，则－2k＋n＝8，12k＋n＝12，解得k＝－3，n＝2，即y＝－3x＋2，当x＝0时，y＝2，所以点P的坐标为(0，2)．【总结反思】[小结]知识点一抛物线顶点知识点二向上y轴减小增大低向下y轴增大减小高[反思]晓明的解答不正确．错误的原因有三个：一是列表时取的数据不全面；二是没有用光滑的曲线连结相邻的点；三是所画的抛物线没有向上延长．正解：列表如下：x…－2－1012…y＝x2…41014…描点、连线，如图所示．