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126．2二次函数的图象与性质2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质知|识|目|标1．通过阅读、操作、观察，能用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象.2．通过比较、思考、讨论，能归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的平移规律，并能确定平移后对应的函数关系式．3．在准确画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的基础上，通过观察、探究、合作交流，能总结出二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质并会熟练应用．目标一会画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象例1教材补充例题在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．y＝12x2，y＝12(x－1)2，y＝12(x－1)2－2.【归纳总结】画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的技巧：(1)找到对称轴直线x＝h(即顶点的横坐标h)；(2)列表时选取的x值中把h放在中间，比h小和比h大的数各取若干个(一般取整数)，并求出对应的y的值；(3)在平面直角坐标系里描出表中以(x，y)为坐标的点，并用光滑的曲线顺次连结．目标二掌握二次函数图象的平移规律例2教材补充例题(1)把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的关系式是____________；(2)将抛物线y＝3(x－4)2＋2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后的抛物线的关系式是____________．【归纳总结】求平移后的抛物线对应的函数关系式的方法：首先要将二次函数的关系式化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的平移规律，确定平移后的抛物线对应的函数关系式．目标三理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质例3高频考题已知函数y＝3()x－22＋9.(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当x＝________时，函数有最________值，是________；(3)当x________时，y随x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小；(4)求出该函数图象与y轴的交点坐标．2【归纳总结】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关．(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．(2)对称轴是直线x＝h.(3)顶点坐标是(h，k)．(4)当x＝h时，函数有最大(或最小)值k.(5)若a0，则当x＜h时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大；若a0，则当x＜h时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小．知识点一二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系(1)形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的关系式叫做二次函数的顶点式．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象形状完全________，但位置不同，其顶点坐标为________，对称轴为直线________．(2)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象向右平移h(h0)个单位[或向左平移|h|(h＜0)个单位]，再向上平移k(k0)个单位[或向下平移|k|(k0)个单位]得到．知识点二二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质二次函数a的符号图象图象的开口方向图象的对称轴图象的顶点坐标函数值的变化情况最值y＝a(x－h)2＋ka0____________直线x＝h(______，______)当xh时，y随x的增大而________；当xh时，y随x的增大而________图象有最______点，当x＝h时，y有最小值______a0____________直线x＝h(______，______)当xh时，y随x的增大而________；当xh时，y随x的增大而________图象有最______点，当x＝h时，y有最大值______3二次函数y＝13(x＋3)2－4的图象是由y＝13x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．上面的说法正确吗？如果不正确，错在哪里？请你改正．4教师详解详析【目标突破】例1解：(1)列表：…－2－101234…y＝12x2…20.500.524.58…y＝12(x－1)2…4.520.500.524.5…y＝12(x－1)2－2…2.50－1.5－2－1.502.5…(2)描点、连线，画出这三个函数的图象，如图所示．二次函数y＝12x2，y＝12(x－1)2，y＝12(x－1)2－2的图象的开口均向上；对称轴分别为y轴，直线x＝1，直线x＝1；顶点坐标分别为(0，0)，(1，0)，(1，－2)．例2[答案](1)y＝(x－2)2＋3(2)y＝3(x－5)2－1[解析](1)抛物线y＝x2先向右平移2个单位，得抛物线y＝(x－2)2，再将抛物线y＝(x－2)2向上平移3个单位，得抛物线y＝(x－2)2＋3.故答案为y＝(x－2)2＋3.(2)抛物线y＝3(x－4)2＋2的顶点坐标为(4，2)，将该抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后顶点的横坐标增加了1，顶点的纵坐标减少了3，所以顶点坐标变为(4＋1，2－3)，即(5，－1)．由于平移时，抛物线的形状和开口方向都不变，所以平移后的抛物线的关系式的二次项系数仍为3，所以平移后的抛物线的关系式为y＝3(x－5)2－1.例3[解析]从关系式中可以看出图象的顶点坐标是(2，9)，对称轴是直线x＝2，画出草图，根据图象求出增减的范围．解：(1)此函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，9)．(2)2小9(3)22(4)该函数图象与y轴的交点坐标为(0，21)．[备选例题]把抛物线y＝－12x2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到一条新抛物线．(1)求所得到的新抛物线对应的函数关系式；(2)求所得到的新抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)当x取何值时，新抛物线对应的函数值y随着x的增大而增大？当x取何值时，新抛物线对应的函数值y随着x的增大而减小？(4)求出新抛物线对应的函数的最大值和最小值．5解：(1)y＝－12(x＋3)2＋4.(2)因为a＝－120，所以新抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，4)．(3)当x－3时，y随着x的增大而增大；当x－3时，y随着x的增大而减小．(4)因为a＝－120，所以y有最大值，当x＝－3时，y有最大值4，无最小值．【总结反思】[小结]知识点一(1)相同(h，k)x＝h知识点二向上hk增大减小低k向下hk减小增大高k[反思]不正确，混淆了左右平移．改正：二次函数y＝13(x＋3)2－4的图象是由y＝13x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．6