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126．2二次函数的图象与性质3求二次函数的表达式知|识|目|标1．通过实践、观察、比较和归纳，能根据题目的条件，选择恰当的方法，求出二次函数的表达式．2．通过回顾、迁移与应用，能求平移、旋转等运动后的二次函数的表达式．目标一能用恰当的方法求二次函数的表达式例1教材补充例题已知某二次函数满足下列条件，求二次函数的表达式．(1)图象经过点A(1，3)，B(－2，12)，C(－1，5)三点；(2)图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2；(3)图象与x轴交点的横坐标分别是－2和3，且函数有最小值－3.2【归纳总结】二次函数表达式的类型及适用情况：二次函数表达式类型表现形式适用情况一般式y＝ax2＋bx＋c已知图象上任意三个点的坐标顶点式y＝ax2已知顶点坐标为(0，0)，又知另一个任意点的坐标y＝ax2＋k已知顶点坐标为(0，k)，又知另一个任意点的坐标y＝a(x－h)2已知顶点坐标为(h，0)，又知另一个任意点的坐标y＝a(x－h)2＋k已知顶点坐标为(h，k)，又知另一个任意点的坐标交点式y＝a(x－x1)(x－x2)已知图象与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，又知另一个任意点的坐标目标二会求平移、旋转后的二次函数的表达式例2教材补充例题(1)把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，求所得抛物线的函数表达式；(2)把二次函数y＝12x2－2x－2的图象在坐标平面内绕点(0，0)旋转180°，求旋转后的抛物线的函数表达式；(3)已知二次函数y＝ax2＋x＋1的图象的顶点在x轴上，求这个函数的表达式．【归纳总结】求平移、旋转后抛物线的表达式的技巧：(1)平移抛物线，二次项系数不变，顶点坐标变化；(2)绕顶点旋转抛物线，二次项系数符号要变，顶点坐标不变；(3)抛物线顶点在横轴上移动，顶点纵坐标为零，抛物线顶点在纵轴上移动，一次项系数为零．3知识点一用待定系数法求二次函数的一般式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值．由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的表达式．知识点二用待定系数法求二次函数的顶点式或交点式当已知条件中有顶点坐标、对称轴方程或最大(小)值时，用顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)求二次函数的表达式比较简单．有时还用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标)求二次函数的表达式．已知抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，且经过点(1，0)，求抛物线的函数表达式．解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，①∴抛物线的函数表达式为y＝(x＋2)2－3，②即y＝x2＋4x＋1.③以上解答从第________步开始出现错误，错误的原因是不能直接设二次项系数为________．请写出正确的解答过程．4教师详解详析【目标突破】例1[解析](1)条件给出的是图象上三个点的坐标，故可设表达式为一般式y＝ax2＋bx＋c；(2)条件给出的是图象上两个点的坐标和顶点的横坐标，故可设表达式为一般式y＝ax2＋bx＋c；(3)条件给出的是图象与x轴交点的横坐标，故可设表达式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．解：(1)设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.由已知，将(1，3)，(－2，12)，(－1，5)分别代入表达式，得3＝a＋b＋c，12＝4a－2b＋c，5＝a－b＋c，解得a＝2，b＝－1，c＝2，∴所求二次函数的表达式为y＝2x2－x＋2.(2)设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.∵图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，将点A，B的坐标代入上式，得a＋b＋c＝0，c＝－3，∴a＋b＝3.又∵图象的对称轴是直线x＝2，∴－b2a＝2.解方程组a＋b＝3，－b2a＝2，得a＝－1，b＝4，∴a＝－1，b＝4，c＝－3.故所求二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3.(3)设该二次函数的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)．由题意，得y＝a(x＋2)(x－3)＝ax2－ax－6a.∵y有最小值－3，∴4a·（－6a）－（－a）24a＝－3.∵a≠0，∴a＝1225，∴所求二次函数的表达式为y＝1225x2－1225x－7225.例2解：(1)由二次函数图象的平移规律可知，将抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位所得抛物线的函数表达式为y＝－2(x－1)2，再向上平移2个单位后，所得抛物线的函数表达式为y＝－2(x－1)2＋2.(2)∵y＝12x2－2x－2＝12(x－2)2－4，∴其图象的顶点坐标是(2，－4)，故二次函数y＝12x2－2x－2的图象在坐标平面内绕点(0，0)旋转180°后，图象对应的二次函数的表达式为y＝－12(x＋2)2＋4.5(3)∵顶点在x轴上，∴4ac－b24a＝4a－14a＝0，解得a＝14，∴这个函数的表达式为y＝14x2＋x＋1.【总结反思】[反思]②1正确的解答过程：∵抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋2)2－3.将(1，0)代入上式，得0＝9a－3，解得a＝13，∴y＝13(x＋2)2－3，即y＝13x2＋43x－53.