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127.1.2圆的对称性第2课时垂径定理知|识|目|标1．通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形．2．通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题．3．会利用垂径定理解决实际生活中的问题．目标一理解圆的轴对称性例1教材补充例题下列说法正确的是()A．每一条直径都是圆的对称轴B．圆的对称轴是唯一的C．圆的对称轴一定经过圆心D．圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．目标二能应用垂径定理及其推论进行证明或计算例2教材补充例题如图27－1－9，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()图27－1－9A．CM＝DMB.CB︵＝DB︵C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MB【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”．(2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立．(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧．例3教材补充例题如图27－1－10，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连结BC，BD.(1)求证：BC＝BD；(2)已知CD＝6，OH＝2，求⊙O的半径．2图27－1－10【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)．(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等．目标三会用垂径定理解决实际生活中的问题例4高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图27－1－11所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．请你解决这个问题．图27－1－11【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”：1．四变量：设弦长为a，圆心到弦的距离为d，半径为r，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个．2．两关系：(1)(a2)2＋d2＝r2；(2)h＋d＝r.图27－1－12知识点一圆的轴对称性圆是____________，它的任意一条直径所在的直线都是它的________，圆有________条对称轴．知识点二垂径定理及其推论垂直于弦的直径__________，并且____________．推论：平分弦(不是直径)的直径____________，并且______________________；平分弧的直3径垂直平分这条弧所对的弦．已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，求BE的长．解：如图27－1－13，连结OC，则OC＝5.∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝12CD＝4.在Rt△OCE中，OE＝OC2－CE2＝3，∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8.图27－1－13以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．4教师详解详析【目标突破】例1[解析]C因为对称轴是直线，不是线段，而圆的直径是线段，故A不正确；因为圆的对称轴有无数条，故B不正确；因为圆的对称轴是直径所在的直线，所以一定经过圆心，故D不正确，C正确．故选C.例2[解析]D∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，故选项A成立；由垂径定理可得CB︵＝DB︵，故选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD＝∠ADC，故选项C成立；而OM与MB不一定相等，故选项D不成立．故选D.例3解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，∴BC︵＝BD︵，∴BC＝BD.(2)如图，连结OC.∵AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，CD＝6，∴CH＝3，∴OC＝OH2＋CH2＝22＋32＝13，故⊙O的半径为13.例4[解析]连结OA，构造Rt△AOE，利用勾股定理及垂径定理解答．解：连结OA.∵CD⊥AB于点E，CD为⊙O的直径，∴AE＝12AB＝12×10＝5(寸)．在Rt△AEO中，设AO＝x寸，则OE＝(x－1)寸．由勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2，解得x＝13.∴AO＝13寸，∴CD＝2AO＝26寸．答：直径CD的长为26寸．【总结反思】[小结]知识点一轴对称图形对称轴无数知识点二平分这条弦平分这条弦所对的两条弧垂直于这条弦平分这条弦所对的两条弧[反思]不完整．补充如下：如图，当垂足E在线段OB上时，此时，BE＝OB－OE＝5－3＝2.∴BE的长为8或2.