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127.2与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系知|识|目|标1．通过作图，探究出平面内点与圆的三种位置关系，会判断点与圆的位置关系．2．通过过一个点、两个点、三个点作圆，思考归纳确定一个圆的条件，理解三角形的内接圆的有关概念和性质，并会确定内心和内接圆的半径．目标一会判断点与圆的位置关系例1教材补充例题如图27－2－1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，M为AB的中点．(1)若以点C为圆心，2为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？(2)若以点C为圆心作⊙C，使A，B，M三点中至少有一点在⊙C内且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是多少？图27－2－1【归纳总结】判断点与圆的位置关系的“三个步骤”：(1)连结该点与圆心；(2)计算该点与圆心之间的距离d；(3)依据圆的半径r与d的大小关系，得出结论．目标二掌握三角形外接圆的作法和性质2例2高频考题小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图27－2－2，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图27－2－2【归纳总结】确定圆心的“两种方法”：(1)作两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心．(2)根据90°的圆周角所对的弦是圆的直径，利用三角尺找出圆的两条直径，它们的交点就是圆心．例3高频考题下列结论正确的是()①三角形有且只有一个外接圆；②圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．A.①②③④B.②③④C.①③D.①②④【归纳总结】外心的性质：(1)一个三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，它是这个三角形三条边垂直平分线的交点，它到这个三角形三个顶点的距离相等．(2)一个三角形只有一个外接圆，也只有一个外心，而一个圆有无数个内接三角形．知识点一点与圆的位置关系点在圆外，则这个点到圆心的距离______半径；点在圆上，则这个点到圆心的距离______半径；点在圆内，则这个点到圆心的距离______半径．[明确](1)列表表示点与圆的位置关系：3点与圆的位置关系图形数量(点到圆心的距离d与圆的半径r)的大小关系点在圆内d＝OA＜r点在圆上d＝OB＝r点在圆外d＝OC＞r(2)圆心是圆内的一个特殊点，它到圆上各点的距离都相等．知识点二探索确定圆的条件经过一点可以画________个圆．经过两点可以画________个圆，这些圆的圆心都在两点所确定的线段的垂直平分线上．不在同一条直线上的三个点确定________个圆，圆心为以这三个点为顶点的三角形的三边的垂直平分线的交点．知识点三三角形的外接圆、外心等概念经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形．[拓展]三角形的外心在三角形的内部⇔三角形为锐角三角形；三角形的外心在三角形的一边上⇔三角形为直角三角形；三角形的外心在三角形的外部⇔三角形为钝角三角形．学习本节后在反思环节，有几名同学的发言如下，你觉得他们说的正确吗？甲：直角三角形的外心是斜边的中点；乙：锐角三角形的外心在三角形的内部；丙：钝角三角形的外心在三角形的外部;丁：过三点可以确定一个圆．4教师详解详析【目标突破】例1[解析](1)连结MC.要判断点A，B，M与⊙C的位置关系，只需比较AC，BC，MC的长度与⊙C的半径的大小关系即可．(2)由AC，BC，MC的长度即可确定半径r的取值范围．解：(1)∵AC＝2，⊙C的半径为2，∴点A在⊙C上．∵BC＝3＞2，∴点B在⊙C外．连结MC.在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝22＋32＝13.又∵M为AB的中点，∴MC＝12AB＝132＜2，∴点M在⊙C内．(2)∵AC＝2，BC＝3，MC＝132，∴BC＞AC＞MC，∴要使A，B，M三点中至少有一点在⊙C内且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是132＜r＜3.例2[解析](1)用尺规作出两条直角边的垂直平分线，找到交点O即为圆心．以O为圆心，OA长为半径作出⊙O即为所求作的花坛的位置.(2)根据90°的圆周角所对的弦是直径，计算出圆形花坛的面积．解：(1)如图，⊙O即为所求．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米，且BC为⊙O的直径，∴△ABC外接圆的半径为5米，∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．例3[解析]C①正确；圆有无数个内接三角形，所以②错误；由三角形外接圆的作法可知外心是三角形三边垂直平分线的交点，③正确；等边三角形的外心到三角形三边的距离相等，其他三角形的外心到三角形三边的距离不相等，④错误．【总结反思】[小结]知识点一大于等于小于知识点二无数无数一[反思]甲、乙、丙三名同学的说法都正确，丁的说法不正确，当三点在同一条直线上时，过这三点不能作圆．