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1圆本章总结提升问题1与圆有关的概念直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？例1有下列说法：①圆中最长的弦不一定是直径；②同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧小于半圆周；③等弧的长度一定相等；④经过圆内一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一个定点可以作无数条直径．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个问题2垂径定理及其推论你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？例2如图27－T－1，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB，AC.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．图27－T－12【归纳总结】应用垂径定理时应注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．问题2圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？例3已知：如图27－T－2，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交BC︵于点D，连结AC，OC，CD，BD.(1)请写出六个不同类型的正确结论；(2)若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．图27－T－2【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想．问题4圆周角定理及其推论圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题？例4如图27－T－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE，AD交于点P.求证：(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC；(3)AC·CE＝2PD·AD.图27－T－33【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等．问题5圆内接四边形什么是圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？例5如图27－T－4所示，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD︵上一点，且DF︵＝BC︵，连结CF并延长交AD的延长线于点E，连结AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()图27－T－4A．45°B．50°C．55°D．60°【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”，这个性质是由圆周角定理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”．问题6直线与圆的位置关系直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？例6如图27－T－5，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，连结AD.求证：(1)∠1＝∠BAD；(2)BE是⊙O的切线．图27－T－54【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心到直线的距离d与半径r是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理．问题7求不规则图形的面积什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？例7如图27－T－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()图27－T－6A．25π－6B.25π2－6C.25π6－6D.25π8－6【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图形再求解．问题8圆中的计算问题圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧面积与全面积？例8如图27－T－7，一扇形纸片的圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为23cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为()图27－T－7A.23cmB.23πcmC.32cmD.32πcm问题9正多边形与圆正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、边心矩、中心角？如何进行正多边形的相关计算？怎样利用正多边形与圆的关系画出正多边形？例9(1)已知：如图27－T－8①，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为BC︵上一动点，求证：PA＝PB＋PC；(2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为BC︵上一动点，求证：PA＝PC＋2PB；5(3)如图③，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P为BC︵上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．图27－T－8【归纳总结】(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形；(2)各角相等的圆外切多边形是正多边形.6教师详解详析【整合提升】例1[解析]C只有②③④正确．例2[解析](1)根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可以得到这两个三角形有两对角分别相等，然后根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可．(2)根据垂径定理，可以证明E为AB的中点，设⊙O的半径为r，则OE＝r－2，根据勾股定理可得一个关于r的方程，解方程即可．解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，∴BE＝12AB＝4.设⊙O的半径为r.∵DE＝2，∴OE＝r－2.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋BE2＝OB2，即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径为5.例3[解析](1)此题是结论开放性问题．由于AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角)．进一步可得AC2＋BC2＝AB2，或∠A＋∠ABC＝90°；因为OD⊥BC于点E，交BC︵于点D，所以CE＝BE，CD＝BD，CD︵＝BD︵(垂径定理)，OE2＋BE2＝OB2.进一步可得到：∠COD＝∠BOD，∠A＝12∠COB＝∠COD＝∠BOD(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半)；还可以得到AC∥OD，△BOD是等腰三角形等．(2)在Rt△OBE中，根据垂径定理和勾股定理可以求出半径．解：(1)答案不唯一，如：BE＝CE，∠BED＝90°，∠BOD＝∠A，AC∥OD，AC⊥BC，OE2＋BE2＝OB2，△BOD是等腰三角形等．(2)设⊙O的半径为r，则OB＝r,OE＝r－1.∵OD⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝2.∵在Rt△OBE中，OE2＋BE2＝OB2,∴(r－1)2＋22＝r2，解得r＝52.故⊙O的半径为52.例4[解析](1)根据等腰三角形三线合一的性质证明；(2)两个三角形有一个公共角，只要再证明一对对应角相等即可；(3)由AC·CE联想到△BEC∽△ADC.再由PD·AD联想到证明△BPD∽△ABD，综合可得AC·CE＝2PD·AD.证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴D是BC的中点．7(2)在△BEC与△ADC中，∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠CAD，∴△BEC∽△ADC.(3)∵△BEC∽△ADC，∴BCAC＝CECD.∵D是BC的中点，∴2BD＝2CD＝BC，∴2BDAC＝CEBD，则2BD2＝AC·CE.①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD.又∵∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BAD.又∵∠BDP＝∠ADB，∴△BPD∽△ABD，∴BDAD＝PDBD，则BD2＝PD·AD.②由①②得AC·CE＝2BD2＝2PD·AD，∴AC·CE＝2PD·AD.例5[解析]B因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－105°＝75°.因为DF︵＝BC︵，所以∠DCE＝∠BAC＝25°.因为∠ADC＝∠DCE＋∠E，所以∠E＝∠ADC－∠DCE＝75°－25°＝50°.故选B.例6证明：(1)∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD.又∵∠1＝∠BDA，∴∠1＝∠BAD.(2)如图，连结BO，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠1＋∠BCD＝180°.∵OB＝OC，∴∠1＝∠CBO，∴∠CBO＋∠BCD＝180°，∴OB∥DC.∵BE⊥DC，∴BE⊥OB.又∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．例7[解析]D由菱形的性质，在Rt△ABO中，易得AB＝5，于是以AB为直径的半圆的面积为12·π·(52)2＝258π，阴影部分的面积为以AB为直径的半圆的面积减去Rt△ABO的面积，即25π8－6.[点评]求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的面8积，再用它们的和或差求不规则图形的面积．例8[解析]A由∠AOB为120°，弦AB的长为23cm，可以求出OA＝OB＝2cm，所以扇形的弧长为120180×2π，它等于圆锥的底面周长，即2πr＝120180×2π，解得r＝23(cm)．例9解：(1)证明：如图①，延长BP至点E，使PE＝PC，连结CE.∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°.又∵∠EBC＝∠PAC，∴△BEC≌△APC，∴PA＝EB＝PB＋PE＝PB＋PC.(2)证明：如图②，过点B作BE⊥PB交PA于点E.∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.又易知∠APB＝45°，∴PB＝EB，∴PE＝2PB.又∵AB＝CB，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝EA，∴PA＝EA＋PE＝PC＋2PB.(3)PA＝PC＋3PB.证明：如图③，在AP上截取AQ＝PC，连结BQ.9又∵∠BAP＝∠BCP，AB＝CB，∴△ABQ≌△CBP，∴QB＝PB.又易知∠APB＝30°，∴PQ＝3PB，∴PA＝AQ＋PQ＝PC＋3PB.